Isotropic nonarchimedean <i>S</i>-arithmetic groups are not left orderable

Lifschitz, Lucy; Morris, Dave Witte

doi:10.1016/j.crma.2004.07.015

Differential Topology

Isotropic nonarchimedean S-arithmetic groups are not left orderable
[Les groupes S-arithmétiques non-archimédiens isotropes ne sont pas ordonnables à gauche.]

Présenté par : Étienne Ghys

Lifschitz, Lucy ¹ ; Morris, Dave Witte ^2,³

¹ Department of Mathematics, University of Oklahoma, Norman, OK 73019, USA
² Department of Mathematics and Computer Science, University of Lethbridge, Lethbridge, Alberta T1K 3M4, Canada
³ Department of Mathematics, Oklahoma State University, Stillwater, OK 74078, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 339 (2004) no. 6, pp. 417-420.

Résumé
Abstract

Si $O_{S}$ est l'anneau des S-entiers d'un corps de nombres F, et $O_{S}$ a une infinité d'unités, nous prouvons qu'aucun sous-groupe d'indice fini de $SL (2, O_{S})$ n'est ordonnable à gauche. (En d'autres termes, les sous-groupes d'indice fini de $SL (2, O_{S})$ ne possèdent pas d'action non triviale sur la droite réelle respectant l'orientation.) Cela implique que si G est un groupe algébrique F-simple isotrope, défini sur un corps de nombres F, alors aucun sous-groupe S-arithmétique non-archimédien de G n'est ordonnable à gauche. La démonstration est fondée sur le fait, dû à D. Carter, G. Keller, et E. Paige, que chaque élément de $SL (2, O_{S})$ est le produit d'un nombre borné de matrices élémentaires.

If $O_{S}$ is the ring of S-integers of an algebraic number field F, and $O_{S}$ has infinitely many units, we show that no finite-index subgroup of $SL (2, O_{S})$ is left orderable. (Equivalently, these subgroups have no nontrivial orientation-preserving actions on the real line.) This implies that if G is an isotropic F-simple algebraic group over an algebraic number field F, then no nonarchimedean S-arithmetic subgroup of G is left orderable. Our proofs are based on the fact, proved by D. Carter, G. Keller, and E. Paige, that every element of $SL (2, O_{S})$ is a product of a bounded number of elementary matrices.

Reçu le : 2004-05-30
Accepté le : 2004-07-06
Publié le : 2004-09-09

DOI : 10.1016/j.crma.2004.07.015

Affiliations des auteurs :

Lifschitz, Lucy ¹ ; Morris, Dave Witte ^{2, 3}

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Lifschitz, Lucy; Morris, Dave Witte. Isotropic nonarchimedean S-arithmetic groups are not left orderable. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 339 (2004) no. 6, pp. 417-420. doi : 10.1016/j.crma.2004.07.015. http://www.numdam.org/articles/10.1016/j.crma.2004.07.015/

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