Problèmes mathématiques de la mécanique
Existence et stabilité de roll-waves pour les équations de Saint Venant
[Existance and stability of roll-waves for the Saint Venant equations]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 10, pp. 819-824.

Roll-waves are entropic travelling waves of the Saint Venant system with a source term. In this Note, we study two connected problems: on the one hand the existence of roll-waves in a channel with a periodic bottom, on the other hand the linear stability of roll-waves over a flat bottom. The main issue is due to the presence of an infinite number of shocks. With the help of a suitable change of variables, we can restrict our attention to C1 functions on { iL ,i}. Then we prove the existence of small amplitude roll-waves with wavespeeds oscillating around an average velocity in a channel with a periodic bottom. For channels with a flat bottom, we show the linear stability of roll-waves when the slope is small enough.

Les roll-waves sont des ondes progressives entropiques des équations de Saint Venant avec terme source. Elles sont C1 par morceaux et périodiques en espace. On s'intéresse dans cette note à deux problèmes reliés : d'une part l'existence de roll-waves dans un canal à fond périodique et d'autre part la stabilité linéaire des roll-waves dans un canal à fond plat. Ces deux problèmes ont une difficulté commune : la présence d'une infinité de chocs. Par un changement de variable, on fixe ces chocs : on se restreint alors à des fonctions C1 sur { iL ,i} pour un L donné. Dans un canal à fond périodique, on montre ainsi l'existence de roll-waves de petite amplitude dont la vitesse d'onde oscille autour d'une vitesse moyenne. Dans un canal à fond plat dont la pente est proche de 0, on peut montrer que les roll-waves sont linéairement stables.

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DOI: 10.1016/j.crma.2004.03.019
Noble, Pascal 1

1 UMR CNRS 5640 (MIP), Université Paul Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex, France
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[1] Bates, P.W.; Lu, K.; Zeng, C. Existence and persistence of invariant manifold for semi flow in Banach spaces, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 135 (1998) no. 645

[2] Berestycki, H.; Hamel, F. Front propagation in periodic excitable media, Comm. Pure Appl. Math., Volume 55 (2002) no. 8, pp. 949-1032

[3] Bourlioux, A.; Majda, A.J.; Roytburd, V. Theoretical and numerical structure for unstable one-dimensional detonations, SIAM J. Appl. Math., Volume 51 (1991) no. 2, pp. 303-343

[4] Dressler, R. Mathematical solution of the problem of roll waves in inclined open channels, CPAM (1949), pp. 149-190

[5] Fenichel, N. Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations, J. Differential Equations, Volume 31 (1979), pp. 53-98

[6] Jin, S.; Katsoulakis, M.A. Hyperbolic systems with supercharacteristic relaxations and roll waves, SIAM J. Appl. Math., Volume 61 (2000), pp. 273-292 (electronic)

[7] Majda, A. The stability of multidimensional shock fronts, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 275 (1983)

[8] P. Noble, On the linear stability of roll-waves, Preprint Univ. Toulouse III, 2004

[9] P. Noble, Roll-waves in inclined channels with a periodic bottom, Preprint Univ. Toulouse III, 2004

[10] Perthame, B. Derivation of viscous Saint Venant equations for laminar shallow water and numerical validation, Discrete Continuous Dynamical Systems B, Volume 1 (2001), pp. 44-60

[11] Tamada, K.; Tougou, H. Stability of roll-waves on thin laminar flow down an inclined plane wall, J. Phys. Soc. Japan, Volume 47 (1979) no. 6, pp. 1992-1998

[12] J.P. Vila, Sur la théorie et l'approximation numérique des problèmes hyperboliques non lineaires. Application aux équations de Saint Venant et à la modélisation des avalanches de neige dense, Thèse Univ. Paris VI

Cited by Sources: