Un problème de type Yamabe sur les variétés spinorielles compactes

Ammann, Bernd; Humbert, Emmanuel; Morel, Bertrand

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 338 (2004) no. 12, pp. 929-934.

Soit (M,g,σ) une variété spinorielle compacte de dimension n⩾2. On note ${\lambda }_1^{+}\left(\tilde{g}\right)$ la plus petite valeur propre >0 de l'opérateur de Dirac dans la métrique $\tilde{g}\in \left[\mathrm{g}\right]$ conforme à g. On définit ${\lambda }_{\min }^{+}(\mathrm{M},\left[\mathrm{g}\right],\sigma )={\inf }_{\tilde{g}\in \left[\mathrm{g}\right]}{\lambda }_1^{+}\left(\tilde{g}\right)\mathrm{Vol}{(\mathrm{M},\tilde{g})}^{1/\mathrm{n}}$. On montre que $0<{\lambda }_{\min }^{+}(\mathrm{M},\left[\mathrm{g}\right],\sigma )⩽{\lambda }_{\min }^{+}\left({𝕊}^n\right)$. On trouve des conditions suffisantes pour lesquelles on obtient l'inégalité stricte ${\lambda }_{\min }^{+}(\mathrm{M},\left[\mathrm{g}\right],\sigma )<{\lambda }_{\min }^{+}\left({𝕊}^n\right)$. Cette inégalité stricte a des applications en géométrie spinorielle conforme.

Let (M,g,σ) be a compact spin manifold of dimension n⩾2. Let ${\lambda }_1^{+}\left(\tilde{g}\right)$ be the smallest positive eigenvalue of the Dirac operator in the metric $\tilde{g}\in \left[\mathrm{g}\right]$ conformal to g. We then define ${\lambda }_{\min }^{+}(\mathrm{M},\left[\mathrm{g}\right],\sigma )={\inf }_{\tilde{g}\in \left[\mathrm{g}\right]}{\lambda }_1^{+}\left(\tilde{g}\right)\mathrm{Vol}{(\mathrm{M},\tilde{g})}^{1/\mathrm{n}}$. We show that $0<{\lambda }_{\min }^{+}(\mathrm{M},\left[\mathrm{g}\right],\sigma )⩽{\lambda }_{\min }^{+}\left({𝕊}^n\right)$. We find sufficient conditions for which we obtain strict inequality ${\lambda }_{\min }^{+}(\mathrm{M},\left[\mathrm{g}\right],\sigma )<{\lambda }_{\min }^{+}\left({𝕊}^n\right)$. This strict inequality has applications to conformal spin geometry.

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