Sur la transformation d'Abel–Radon de courants localement résiduels

Fabre, Bruno

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 338 (2004) no. 10, pp. 787-792.

Henkin et Passare ont démontré le théorème suivant : soit ω une q-forme méromorphe (q>0) sur un sous-ensemble analytique Y de codimension pure p d'un ouvert linéairement p-concave $\mathrm{U}\subset {\mathbb{P}}_N$ ; si la transformation d'Abel–Radon $𝒜(\omega \wedge [\mathrm{Y}\left]\right)$, qui est méromorphe sur $U^{*}\subset \mathrm{G}(\mathrm{p},\mathrm{N})$, se prolonge méromorphiquement dans un domaine ${\tilde{U}}^{*}$ contenant $U^{*}$, alors Y se prolonge en un sous-ensemble analytique $\tilde{Y}$ du domaine $\tilde{U}$, et ω en une forme méromorphe sur $\tilde{Y}$. Le problème est de démontrer l'énoncé analogue, lorsqu'on remplace le courant ω∧[Y] par un courant α de bidegré (q+p,p), 0<q⩽N−p, de type plus général, appelé localement résiduel. Nous donnons la solution pour p=1, et q=N−p, ou q quelconque si $𝒜\left(\alpha \right)=0$. On donne pour terminer une application de ce théorème.

The aim of this Note is to give a generalisation of the following theorem of Henkin and Passare: let Y be an analytic subvariety of pure codimension p in a linearly p-concave domain U, and ω a meromorphic q-form (q>0) on it; if the Abel–Radon transform $𝒜(\omega \wedge [\mathrm{Y}\left]\right)$, which is meromorphic on $U^{*}$, has a meromorphic prolongation to ${\tilde{U}}^{*}$, then Y extends to an analytic subvariety of $\tilde{U}$, and ω to a meromorphic form on it. The problem is to show the analogous statement when we replace ω∧[Y] by a current α of a more general type, called locally residual. We give the proof if α is of bidegree (N,1), or (q+1,1), 0<q<N in the particular case where $𝒜\left(\alpha \right)=0$. We conclude with some applications of the theorem.

[1] J.-E. Björk, Residue currents and $𝒟$-modules on complex manifolds, Prepublication, Department of Mathematics, Stockholm University, 1996

[2] Dingoyan, P. Un phénomène de Hartogs dans les variétés projectives, Math. Z., Volume 232 (1999), pp. 217-240

[3] B. Fabre, Nouvelles variations sur des théorèmes d'Abel et Lie, Thèse de l'université Paris VI, 2000

[4] Gindinkin, S.G.; Henkin, G.M. Integral geometry for $\overline{\partial }$-cohomology in q-linear concave domains in CPⁿ, Funct. Anal. Appl., Volume 12 (1978), pp. 247-261

[5] Griffiths, P. Variations on a theorem of Abel, Invent. Math., Volume 35 (1976), pp. 321-390

[6] Henkin, G. The Abel–Radon transform and several complex variables, Ann. Math. Stud., Volume 137 (1995), pp. 223-275

[7] Henkin, G. Abel–Radon transform and applications, The Legacy of Niels Henrik Abel, Springer, 2003, pp. 477-494

[8] Henkin, G.; Passare, M. Holomorphic forms on singular varieties and variations on a theorem of Lie–Griffiths, Invent. Math., Volume 135 (1999), pp. 297-328

[9] Herrera, M.; Coleff, N. Les courants résiduels associés à une forme méromorphe, Lecture Notes in Math., vol. 633, Springer, 1979, p. 211

[10] Herrera, M.; Lieberman, D. Residues and principal values on complex spaces, Math. Ann., Volume 194 (1971), pp. 259-294

[11] Passare, M. Residues, currents, and their relations to ideals of holomorphic functions, Math. Scand., Volume 62 (1988), pp. 75-152