Cohomologie des formes différentielles régulières pour les courbes affines

Bonnet, Philippe

Comptes Rendus. Mathématique, Tome 338 (2004) no. 11, pp. 863-868.

Soit C une courbe affine complexe réduite, et soit H¹(C) son premier groupe de cohomologie de De Rham tronqué, c'est-à-dire le quotient des 1-formes régulières sur C par les 1-formes exactes. En premier lieu, nous introduisons un invariant μ′(C,x)⩾0 qui mesure la complexité de la singularité de C au point x, et nous démontrons la formule suivante :

$$\dim H^1\left(\mathrm{C}\right)=\dim H_1\left(\mathrm{C}\right)+\sum _{\mathrm{x}\in \mathrm{C}}\mu \text{'}(\mathrm{C},\mathrm{x}),$$

où H₁(C) désigne le premier groupe d'homologie singulière de C à coefficients complexes. Deuxièmement, nous considérons une famille de courbes affines donnée par les fibres d'un morphisme $f:\mathrm{X}\to ℂ$, où X est une surface affine réduite. Nous analysons le comportement de la fonction y↦dimH¹(f⁻¹(y)). Plus précisément, nous montrons qu'elle est constante sur un ouvert de Zariski, et qu'elle est semi-continue inférieurement en général.

Let C be an affine curve, and denote by H¹(C) its first troncated De Rham cohomology group, i.e. the quotient of regular differential 1-forms on C by exact 1-forms. First we introduce a nonnegative invariant μ′(C,x) that measures the complexity of the singularity of C at the point x, and we establish the following formula:

$$\dim H^1\left(\mathrm{C}\right)=\dim H_1\left(\mathrm{C}\right)+\sum _{\mathrm{x}\in \mathrm{C}}\mu \text{'}(\mathrm{C},\mathrm{x}),$$

where H₁(C) is the first singular homology group of C with complex coefficients. Second we consider a family of curves given by the fibres of a morphism $f:\mathrm{X}\to ℂ$, where X is an affine reduced surface. We analyse the behaviour of the function y↦dimH¹(f⁻¹(y)). More precisely we show that it is constant over a Zariski open set, and that it is lower semi-continuous is general.

[1] André, Y.; Baldarrassi, F. De Rham Cohomology of Differential Modules on Algebraic Varieties, Progr. Math., Birkhäuser, 2000

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[6] Dimca, A. Singularities and Topology of Hypersurfaces, Springer-Verlag, New York, 1992

[7] Eisenbud, D. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag, New York, 1995

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[10] E.J.N. Looijenga, Isolated Singular Points on Complete Intersections, Cambridge University Press

[11] Varčenko, A.N. Un théorème sur l'équisingularité des familles de variétés algébriques, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., Volume 36 (1972), pp. 957-1019 (English translation Math. USSR Izv., 6, 1972, pp. 949-1008)