Log-Lipschitz regularity and uniqueness of the flow for a field in (W loc 𝐧/𝐩+1,𝐩 ( 𝐧 )) 𝐧
[Régularité Log-Lipschitz et unicité du flot pour les champs de vecteurs (W loc 𝐧/𝐩+1,𝐩 ( 𝐧 )) 𝐧 ]
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 1, pp. 17-22.

On considère le problème de Cauchy pour un système d'équations différentielles ordinaires x ˙=b(x),t>0;x(0)=x 0 où l'état x=x(t) n et où b est un champ de vecteurs dans (W loc n/p+1,p ( n )) n . On démontre que, pour tout x 0 n , il existe une unique solution locale (en temps). Ceci correspond à un cas limite du point de vue de l'appartenance à des espaces de Sobolev. En effet, si s<n/p+1 il existe des champs de vecteurs b(W loc s,p ( n )) n pour lesquels l'unicité n'est pas satisfaite. Par contre, lorsque s>n/p+1 l'unicité est trivialement vraie car b est localement Lipschitz grâce aux inclusions de Sobolev. La preuve consiste à démontrer que le champ de vitesses vérifie une condition de continuité de type Log-Lipschitz permettant de vérifier que la condition classique d'unicité d'Osgood est satisfaite. Lorsque p=2 la preuve se fait à l'aide des séries de Fourier. Lorsque p≠2 on utilise l'inégalité de Trudinger et la stratégie de la preuve du théorème de Morrey.

We consider the initial value problem x ˙=b(x),t>0;x(0)=x 0 , with x=x(t) n . We prove that local existence and uniqueness of solutions holds when the field b belongs to (W loc n/p+1,p ( n )) n . This case corresponds to the limit regularity one in Sobolev terms since uniqueness may fail when b(W loc s,p ( n )) with s<n/p+1 but holds immediately when s>n/p+1 because of the Sobolev imbedding from (W loc s,p ( n )) n into the space of locally Lipschitz fields. The proof of uniqueness relies on a Log-Lipschitz continuity property we prove for vector fields in this Sobolev class. When p=2 the proof is carried out by means of Fourier series, decomposing the field into the low and high frequencies. When p≠2 the proof uses Trudinger's inequality and the strategy of proof of Morrey's theorem.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02426-3
Zuazua, Enrique 1

1 Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma, 28049 Madrid, Spain
@article{CRMATH_2002__335_1_17_0,
     author = {Zuazua, Enrique},
     title = {Log-Lipschitz regularity and uniqueness of the flow for a field in $ \mathbf{(}\mathrm{W}_{\mathrm{loc}}^{\mathbf{n/p+1,p}}\mathbf{(}\mathbb{R}^{\mathbf{n}}\mathbf{))}^{\mathbf{n}}$},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {17--22},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {335},
     number = {1},
     year = {2002},
     doi = {10.1016/S1631-073X(02)02426-3},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02426-3/}
}
TY  - JOUR
AU  - Zuazua, Enrique
TI  - Log-Lipschitz regularity and uniqueness of the flow for a field in $ \mathbf{(}\mathrm{W}_{\mathrm{loc}}^{\mathbf{n/p+1,p}}\mathbf{(}\mathbb{R}^{\mathbf{n}}\mathbf{))}^{\mathbf{n}}$
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2002
SP  - 17
EP  - 22
VL  - 335
IS  - 1
PB  - Elsevier
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02426-3/
DO  - 10.1016/S1631-073X(02)02426-3
LA  - en
ID  - CRMATH_2002__335_1_17_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Zuazua, Enrique
%T Log-Lipschitz regularity and uniqueness of the flow for a field in $ \mathbf{(}\mathrm{W}_{\mathrm{loc}}^{\mathbf{n/p+1,p}}\mathbf{(}\mathbb{R}^{\mathbf{n}}\mathbf{))}^{\mathbf{n}}$
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2002
%P 17-22
%V 335
%N 1
%I Elsevier
%U http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02426-3/
%R 10.1016/S1631-073X(02)02426-3
%G en
%F CRMATH_2002__335_1_17_0
Zuazua, Enrique. Log-Lipschitz regularity and uniqueness of the flow for a field in $ \mathbf{(}\mathrm{W}_{\mathrm{loc}}^{\mathbf{n/p+1,p}}\mathbf{(}\mathbb{R}^{\mathbf{n}}\mathbf{))}^{\mathbf{n}}$. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 335 (2002) no. 1, pp. 17-22. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02426-3. http://www.numdam.org/articles/10.1016/S1631-073X(02)02426-3/

[1] Adams, R.A. Sobolev Spaces, Academic Press, 1975

[2] Chemin, J.Y.; Lerner, N. Flot de champs de vecteurs non Lipschitziens et équations de Navier–Stokes, J. Differential Equations, Volume 121 (1995), pp. 314-328

[3] Colombini, F.; Lerner, N. Sur les champs de vecteurs peu réguliers, Séminaire X-EDP, 2000–2001, Exp. No. XV, École Polytechnique, Palaiseau, 2001

[4] Desjardins, B. Linear transport equations with initial values in Sobolev spaces and application to the Navier–Stokes equations, Differential Integral Equations, Volume 10 (1997) no. 3, pp. 577-586

[5] Diperna, R.; Lions, P.-L. Ordinary differential equations, transport theory and Sobolev spaces, Invent. Math., Volume 98 (1989), pp. 511-547

[6] Evans, L.C. Partial Differential Equations, Grad. Stud. Math., 19, American Mathematical Society, 1998

[7] Fusco, N.; Lions, P.-L.; Sbordone, C. Sobolev imbedding theorems in borderline cases, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 124 (1996) no. 2, pp. 561-565

[8] Gilbarg, D.; Trudinger, N.S. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 2001

[9] Lions, P.-L. Sur les équations différentielles ordinaires et les équations de transport, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 326 (1998), pp. 833-838

[10] Sedenko, V.J. A proof of a uniqueness theorem for generalized solutions of initial-boundary value problems for Marguerre–Vlasov equations of the vibration of shells with damped boundary conditions, Appl. Math. Optim., Volume 39 (1999) no. 3, pp. 309-326

[11] Stein, E. Singular Integrals and the Differentiablity Properties of Functions, Princeton University Press, 1970

Cité par Sources :