Un critère de récurrence pour certains espaces homogènes

Bruère, Caroline

doi:10.24033/bsmf.2776

Bruère, Caroline ¹

¹ Lycée Colbert, 7 impasse Colbert, 57100 Thionville

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 1, pp. 91-121

Résumé (VO)
Abstract

Soit $G$ un groupe de Lie algébrique connexe semi-simple réel, $H$ un sous-groupe algébrique de $G$ , $μ$ une mesure de probabilité sur $G$ à moment exponentiel fini dont le support engendre un sous-semi-groupe Zariski-dense de $G$ . Soit $X = G / H$ le quotient de $G$ par $H$ . On étudie la chaîne de Markov sur $X$ de probabilité de transition $P_{x} = μ * δ_{x}$ pour $x \in X$ . On montre que soit pour tout $x \in X$ , presque toute trajectoire partant de $x$ est transiente, soit pour tout $x \in X$ , presque toute trajectoire partant de $x$ est récurrente. Cette récurrence est en fait uniforme, c’est-à-dire que pour tout point $x \in X$ , presque toute trajectoire partant de $x$ revient infiniment souvent dans un compact $C \subset X$ ne dépendant pas de $x$ . De plus, on donne un critère de récurrence en fonction de $G$ , $H$ , et $μ$ .

Let $G$ be a real connected algebraic semi-simple Lie group, and $H$ an algebraic subgroup of $G$ . Let $μ$ be a probability measure on $G$ , with finite exponential moment, whose support spans a Zariski-dense subsemigroup of $G$ . Let $X = G / H$ be the quotient of $G$ by $H$ . We study the Markov chain on $X$ with transition probability $P_{x} = μ * δ_{x}$ for $x \in X$ . We prove that either for every $x \in X$ , almost every trajectory starting from $x$ is transient or for every $x \in X$ , almost every trajectory starting from $x$ is recurrent. In fact, this recurrence is uniform over all $X$ , i.e. there exists a compact set $C \subset X$ such that for each point $x \in X$ , every trajectory starting in $x$ almost surely returns to $C$ infinitely often. Furthermore, we give a criterion for recurrence depending on $G$ , $H$ , and $μ$ .

Reçu le : 2016-05-24
Révisé le : 2017-06-19
Accepté le : 2017-08-28
Publié le : 2019-03-21

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2776

Classification : 37B20, 37A30, 22E46, 22D40
Mots-clés : récurrence, groupe de Lie semi-simple réel, transience, chaine de Markov espace homogène
Keywords: recurrence, transience, real semi-simple Lie groupe, Markov chain, homogeneous space

Affiliations des auteurs :

Bruère, Caroline ¹

¹ Lycée Colbert, 7 impasse Colbert, 57100 Thionville

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Bruère, Caroline. Un critère de récurrence pour certains espaces homogènes. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 147 (2019) no. 1, pp. 91-121. doi: 10.24033/bsmf.2776

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