Sur les treillis de Coxeter finis
Mathématiques informatique et sciences humaines, Tome 125 (1994), pp. 41-57.

Björner (1984) a montré que l’ordre faible de Bruhat défini sur un groupe de Coxeter fini (Bourbaki 1969) est un treillis. Dans le cas du groupe symétrique Sn ce résultat (treillis permutoèdre) a été prouvé par Guilbaud-Rosenstiehl (1963). Dans ce papier nous montrons que des propriétés connues des treillis permutoèdres peuvent s’étendre à tous les treillis de Coxeter finis et qu’inversement des propriétés démontrées sur tous les Coxeter finis ont des retombées intéressantes sur les permutoèdres. En particulier, les Coxeter finis sont tous pseudo-complémentés et ont une congruence dont le quotient est une algèbre de Boole. Le résultat de Solomon sur une sous-algèbre de l’algèbre de groupe concerne cette même congruence. Dans le cas du permutoèdre l’équivalence «même premier tableau de Young» est une sous-équivalence de celle associée à la congruence. Nous montrons également que les treillis de Coxeter sont semi-distributifs.

On finite Coxeter lattices. Björner (1984) has pointed out that the weak Bruhat order of a finite Coxeter group (Bourbaki, 1969) is a lattice. In the case of the symmetric group Sn, this result (permutohedron lattice) was proved by Guilbaud-Rosenstiehl (1963). In this paper we show that several known properties of the permutohedron lattices hold for any Coxeter lattice. Especially we will show that Coxeter lattices are pseudo complemented, so that any Coxeter lattice has a congruence whose quotient is a boolean algebra. Solomon's result (1976) on a subalgebra of the group algebra concerns the same congruence. In the case of the permutohedron the equivalence “same first Young's tableau” is a subequivalence of that equivalence associated with the congruence Using the pseudo complementation and an isomorphism property of intervals we will show that Coxeter lattices are semi distributive. Properties that hold for every Coxeter lattice are especially interesting in the permutohedron case.

@article{MSH_1994__125__41_0,
     author = {Le Conte de Poly-Barbut, C.},
     title = {Sur les treillis de {Coxeter} finis},
     journal = {Math\'ematiques informatique et sciences humaines},
     pages = {41--57},
     publisher = {Ecole des hautes-\'etudes en sciences sociales},
     volume = {125},
     year = {1994},
     mrnumber = {1281945},
     zbl = {0802.06016},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/MSH_1994__125__41_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Le Conte de Poly-Barbut, C.
TI  - Sur les treillis de Coxeter finis
JO  - Mathématiques informatique et sciences humaines
PY  - 1994
SP  - 41
EP  - 57
VL  - 125
PB  - Ecole des hautes-études en sciences sociales
UR  - http://www.numdam.org/item/MSH_1994__125__41_0/
LA  - fr
ID  - MSH_1994__125__41_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Le Conte de Poly-Barbut, C.
%T Sur les treillis de Coxeter finis
%J Mathématiques informatique et sciences humaines
%D 1994
%P 41-57
%V 125
%I Ecole des hautes-études en sciences sociales
%U http://www.numdam.org/item/MSH_1994__125__41_0/
%G fr
%F MSH_1994__125__41_0
Le Conte de Poly-Barbut, C. Sur les treillis de Coxeter finis. Mathématiques informatique et sciences humaines, Tome 125 (1994), pp. 41-57. http://www.numdam.org/item/MSH_1994__125__41_0/

[1] Bennett M.K. et Birkhoff G., "Two families of Newman lattices", preprint,1991. | MR | Zbl

[2] Birkhoff G., Lattice theory, 3e éd., Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1967. | MR

[3] Björner A., "Orderings of Coxeter groups", Contemp. Math., vol.34, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1984, 175-195. | MR | Zbl

[4] Björner A. and Wachs M., Generalized quotients in Coxeter groups, trans. of the Amer. Math. Soc., 308, 1, juillet 1988. | MR | Zbl

[5] Bourbaki N., Groupes et algèbres de Lie, chap. 4,5,6, éléments de mathématiques, fasc. 34, Hermann, Paris, 1968. | MR

[6] Chameni-Nembua C. et Monjardet B., "Les treillis pseudo-complémentés finis", European Journal of Combinatorics, vol. 13, n°2, 1992, 89-107. | MR | Zbl

[7] Duquenne V. and Cherfouh A., On the permutation lattice, preprint du C.A.M.S., n° P077, décembre 1991.

[8] Guilbaud G.Th. et Rosenstiehl P., "Analyse algébrique d'un scrutin", Math. Sci. hum., 4, 1963, 9-33. | EuDML | Numdam

[9] Heydemann M.C., Réseaux modélisés par des graphes de Cayley, Notes de cours LRI UA 410 CNRS, Université Paris-Sud Orsay, 1991.

[10] Knuth D.E., "Sorting and searching", The Art of Computer Programming, vol.3, Reading Mass., Addison Wesley, 1973. | MR | Zbl

[11] Le Conte de Poly-Barbut C., "Automorphismes du permutoèdre et votes de Condorcet", Math. Inf. Sci. hum., 111, 1990, 73-82. | Numdam | MR

[12] Le Conte de Poly-Barbut C., "Le diagramme du treillis permutoèdre est intersection des diagrammes de deux produits directs d'ordres totaux", Math. Inf. Sci. hum., 112, 1990, 49-53. | Numdam

[13] Moszkowski P., "Généralisation d'une formule de Solomon relative à l'anneau de groupe d'un groupe de Coxeter", C.R. Acad. Sci., 309, série I, Paris, 1989, 539-541. | MR | Zbl

[14] Stanley R.P., "Weyl group, the hard Lefschetz theorem and the Spemer property", J. Algebraic and Discrete Methods, 1, SIAM, 1981, 168-184. | MR | Zbl

[15] Solomon L., "A Mackey formula in the group ring of a Coxeter group", Journal of Algebra, 41, 1976, 255-264. | MR | Zbl

[16] Yanagimoto T. et Okamoto M., "Partial orderings of permutations and monotonicity of a rank correlation statistic", Ann. Inst. Statist. Math., 21, 1969, 489-506. | MR | Zbl