no. 4
Une caractérisation de la correspondance de Langlands locale pour GL (n)
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 4, pp. 587-602

Soient F un corps commutatif localement compact non archimédien et ψ un caractère non trivial du groupe additif de F. La correspondance de Langlands locale donne, pour chaque entier n≥1, une bijection σ↦π n (σ) de l'ensemble 𝒢 F (n) des classes d'isomorphisme de représentations de dimension n du groupe de Weil-Deligne de F sur l'ensemble 𝒜 F (n) des classes d'isomorphisme de représentations lisses irréductibles de GL n (F). La bijection π 1 est donnée par la théorie locale du corps de classes, et pour σ∈𝒢 F (n), σ ' ∈𝒢 F (n ' ), on a L ( s , σ ⊗ σ ' ) = L ( s , π n ( σ ) × π n ' ( σ ' ) ) , ε ( s , σ ⊗ σ ' , ψ ) = ε ( s , π n ( σ ) × π n ' ( σ ' ) , ψ ) . Nous prouvons que ces propriétés caractérisent la famille d'applications (π n ).

Let F be a locally compact non-Archimedean field and ψ a non-trivial additive character of F. The local Langlands correspondence gives for each positive integer n a one-to-one map σ↦π n (σ) from the set 𝒢 F (n) of isomorphism classes of degree n representations of the Weil-Deligne group of F onto the set 𝒜 F (n) of isomorphism classes of smooth irreducible representations of GL n (F). Class-field theory gives the map π 1 and for σ∈𝒢 F (n), σ ' ∈𝒢 F (n ' ), we have L ( s , σ ⊗ σ ' ) = L ( s , π n ( σ ) × π n ' ( σ ' ) ) , ε ( s , σ ⊗ σ ' , ψ ) = ε ( s , π n ( σ ) × π n ' ( σ ' ) , ψ ) . We prove that such properties characterize the family of maps (π n ).

DOI : 10.24033/bsmf.2431
Classification : 22E50
Mots-clés : corps local, correspondance de Langlands, fonction $L$, facteur $\varepsilon $
Keywords: local field, Langlands correspondence, $L$-function, $\varepsilon $-factor 
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Henniart, Guy. Une caractérisation de la correspondance de Langlands locale pour ${\rm GL}(n)$. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 4, pp. 587-602. doi: 10.24033/bsmf.2431

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