Gras, Georges
Sur la structure des groupes de classes relatives. Avec un appendice d'exemples numériques par T. Berthier
Annales de l'institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 1 , p. 1-20
Zbl 0786.11065 | MR 94i:11091
doi : 10.5802/aif.1319
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=AIF_1993__43_1_1_0

Suite aux travaux de R. Schoof et de H.W. Lenstra–R. Schoof, nous donnons une méthode permettant de trouver, pour tout p premier ne divisant pas [F:], un système de générateurs du p-groupe des classes relatives du corps abélien imaginaire F, ceci avec la seule connaissance de nombres de Bernoulli B 1 (ψ -1 ). Des exemples numériques sont donnés pour p=3 et p=5, dans le cadre des extensions cycliques de degré 2 et 4. Le premier exemple de p-groupe des classes possédant une χ-composante non monogène (pour un caractère p -irréductible χ impair non quadratique) a été trouvé par T. Berthier avec p=5, et le corps quartique cyclique de conducteur 37×541 contenant (37).
Following results by R. Schoof and by H.W. Lenstra–R. Schoof, we give a method allowing to find, for all prime p not dividing [F:], a system of generators of the relative p-class group of the imaginary abelian field F, only with the knowledge of Bernoulli numbers B 1 (ψ -1 ). Numerical examples are given for p=3 and p=5 about cyclic extensions of degrees 2 and 4. The first example of p-class group having a non cyclic χ-component (for a p -irreducible odd and not quadratic character χ) has been found by T. Berthier for p=5, and the cyclic quartic field of conductor 37×51 containing (37).

Bibliographie

[B] T. Berthier, Étude numérique des p-groupes de classes des corps abéliens (en préparation).

[G1] G. Gras, Étude d'invariants relatifs aux groupes des classes des corps abéliens, Astérisque, 41-42 (1977), 35-53. MR 56 #5489 | Zbl 0445.12002

[G2] G. Gras, Sur les l-classes d'idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier l, Ann. Inst. Fourier, 23-3 (1973), 1-48. Numdam | MR 50 #12967 | Zbl 0276.12013

[G3] G. Gras, Nombre de φ-classes invariantes. Application aux classes des corps abéliens, Bull. Soc. Math. de France, 106 (1978), 337-364. Numdam | MR 80c:12013 | Zbl 0392.12005

[G(MN)] M.-N. Gras, Étude des corps quartiques cycliques, Publ. Math. Fac. Sci. Besançon, Année 1977/1978, fasc. 2 (réédition 1985).

[K] V.A. Kolyvagin, Euler systems, The Grothendieck Festchrift, vol. II, Progress in Math. 87, pp. 435-483, Birkhäuser, Boston (1990). MR 92g:11109 | Zbl 0742.14017

[LSc] H.W. Lenstra and R.J. Schoof, Class groups of imaginary number fields (to appear).

[MW] B. Mazur and A. Wiles, Class fields of abelian extensions of ℚ, Invent. Math., 76 (1984), 179-330. MR 85m:11069 | Zbl 0545.12005

[Or] B. Oriat, Groupes des classes d'idéaux des corps quadratiques (...), Publ. Math. Fac. Sci. Besançon, Années 1986/1987-1987/1988, fasc. 2.

[Sc1] R.J. Schoof, The structure of the minus class groups of abelian number fields, Séminaire de théorie des Nombres, Paris, Année 1988/1989, Birkhäuser, Progr. in Math., vol 91 (1991). Zbl 0719.11074

[Sc2] R.J. Schoof, On Kolyvagin's work on cyclotomic fields (in preparation).

[So] D. Solomon, On the class groups of imaginary abelian fields, Ann. Inst. Fourier, 40-3 (1990), 467-492. Numdam | MR 92a:11133 | Zbl 0694.12004

[H*] K. Hardy, R.H. Hudson, D. Richman, K.S. Williams and N.M. Holtz, Calculation of the class numbers of imaginary cyclic quartic fields, Carleton-Ottawa Math. Lect. Notes Series, Num. 7 (1986). Zbl 0615.12009

K. Hardy, R.H. Hudson, D. Richman, K.S. Williams, Table of the relative class numbers h* (K) of imaginary cyclic quartic fields K with h*(K) ≡ 2 mod 4 and conductor f < 416,000, Carleton-Ottawa Math. Lect. Notes Series, Num. 8 (1987). Zbl 0615.12010