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Bishop, Errett; De Leeuw, Karel
The representations of linear functionals by measures on sets of extreme points. Annales de l'institut Fourier, 9 (1959), p. 305-331
Full text djvu | pdf | Reviews MR 22 #4945 | Zbl 0096.08103 | 9 citations in Numdam

stable URL: http://www.numdam.org/item?id=AIF_1959__9__305_0

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Abstract

Soit $X$ un compact, $B$ un espace vectoriel de fonctions numériques continues sur $X$ (muni de la norme classique), séparant les points de $X$ et contenant les constantes.

On note $M(B)$ l'ensemble des $x$ de $X$ tels que toute mesure positive $\mu $ sur $X$ pour laquelle on ait pour tout $f\in B$ :

\begin{displaymath}f(x)=\int fd\mu \end{displaymath}

soit nécessairement la mesure de masse 1 portée par $x$.

On veut représenter les éléments de $B^*$ par des mesures portées par $M(B)$ ; un théorème de Choquet en montre la possibilité lorsque $X$ est métrisable. On le démontre ici autrement, ce qui redonne le théorème de Choquet, et permet d'étendre ce dernier au cas non métrique (dans ce cas on exige seulement de $\mu $ qu'elle soit portée par tout ouvert contenant $M(B)$).

On énonce également des résultats voisins pour des algèbres de fonctions continues à valeurs complexes.

Une série d'exemples montre qu'on ne peut pas améliorer les énoncés obtenus, par exemple imposer à $\mu $ d'être portée par $M(B)$ lui-même dans tous les cas.

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