Effondrements et petites valeurs propres des formes différentielles
Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 23 (2004-2005), pp. 115-124.

À courbure et diamètre bornés, les valeurs propres non nulles du laplacien de Hodge-de Rham agissant sur les formes différentielles d’une variété compacte ne sont pas uniformément minorées comme c’est le cas pour les fonctions, et si l’une d’elle tend vers zéro alors le volume de la variété tend aussi vers zéro, c’est-à-dire qu’elle s’effondre. On présente ici les résultats obtenus ces dernières années concernant le problème réciproque, à savoir déterminer le comportement asymptotique des premières valeurs propres d’une variété lorsqu’elle s’effondre.

DOI : https://doi.org/10.5802/tsg.233
Classification : 58J50,  58C40
Mots clés : spin geometry, surface, energy-momentum tensor
@article{TSG_2004-2005__23__115_0,
     author = {Jammes, Pierre},
     title = {Effondrements et petites valeurs propres des formes diff\'erentielles},
     journal = {S\'eminaire de th\'eorie spectrale et g\'eom\'etrie},
     pages = {115--124},
     publisher = {Institut Fourier},
     address = {Grenoble},
     volume = {23},
     year = {2004-2005},
     doi = {10.5802/tsg.233},
     mrnumber = {2270225},
     zbl = {1106.58024},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.233/}
}
TY  - JOUR
AU  - Jammes, Pierre
TI  - Effondrements et petites valeurs propres des formes différentielles
JO  - Séminaire de théorie spectrale et géométrie
PY  - 2004-2005
DA  - 2004-2005///
SP  - 115
EP  - 124
VL  - 23
PB  - Institut Fourier
PP  - Grenoble
UR  - http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.233/
UR  - https://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2270225
UR  - https://zbmath.org/?q=an%3A1106.58024
UR  - https://doi.org/10.5802/tsg.233
DO  - 10.5802/tsg.233
LA  - fr
ID  - TSG_2004-2005__23__115_0
ER  - 
Jammes, Pierre. Effondrements et petites valeurs propres des formes différentielles. Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Tome 23 (2004-2005), pp. 115-124. doi : 10.5802/tsg.233. http://www.numdam.org/articles/10.5802/tsg.233/

[BBG85] P. Bérard, G. Besson et S. Gallot – «  Sur une inégalité isopérimétrique qui généralise celle de Paul Lévy-Gromov  », Inventiones Mathematicae, 80, p. 295–308, 1985. | MR 788412 | Zbl 0571.53027

[CC90] B. Colbois et G. Courtois – «  A note on the first non zero eigenvalue of the Laplacian acting on p-forms  », Manuscripta mathematica, 68, p. 143–160, 1990. | MR 1063223 | Zbl 0709.53031

[CC00] B. Colbois et G. Courtois – «  Petites valeurs propres des p-formes différentielles et classe d’Euler des S 1 -fibrés  », Annales scientifiques de l’ÉNS, 33, p. 611–645, 2000. | Numdam | Zbl 0968.58001

[CFG92] J. Cheeger, K. Fukaya et M. Gromov – «  Nilpotent structures and invariant metrics on collapsed manifolds  », J. Am. Math. Soc., 5, p. 327–372, 1992. | MR 1126118 | Zbl 0758.53022

[CT97] S. Chanillo et F. Trèves – «  On the lowest eigenvalue of the Hodge Laplacian  », Journal of Differential Geometry, 45 (2), p. 273–287, 1997. | MR 1449973 | Zbl 0874.58087

[CZ95] X. Cheng et D. Zhou – «  First eigenvalue estimate on Riemannian manifolds  », Hokkaïdo Mathematical Journal, 24, p. 453–472, 1995. | MR 1357026 | Zbl 0843.58123

[Fu87] K. Fukaya – «  Collapsing riemannian manifolds to ones with lower dimension  », Journal of Differential Geometry, 25, p. 139–156, 1987. | MR 873459 | Zbl 0606.53027

[Fu89] K. Fukaya – «  Collapsing riemannian manifolds to ones with lower dimension II  », J. Math. Soc. Japan, 45 (2), p. 333–356, 1989. | MR 984756 | Zbl 0703.53042

[Gr80] M. Gromov – «  Paul Levy’s isoperimetric inegality  », Prépublication IHÉS, 1980.

[Ja03a] P. Jammes – «  Sur le spectre des fibrés en tore qui s’effondrent  », Manuscripta mathematica, 110 (1), p. 13–31, 2003. | Zbl 1027.58006

[Ja03b] P. JammesSur le spectre du laplacien des fibrés en tores qui s’effondrent, Thèse de doctorat, université de Neuchâtel, déc. 2003, math.DG/0506234.

[Ja04] P. Jammes – «  Petites valeurs propres des fibrés principaux en tores  », prépublication, 2004, math.DG/0404536.

[Ja05] P. Jammes – «  Effondrement, spectre et propriétés diophantiennes des flots riemanniens  », prépublication, 2005, math.DG/0505417.

[Lo02] J. Lott – «  Collapsing and the differential form Laplacian : the case of a smooth limit space  », Duke Math. Journal, 114, p. 267–306, 2002, math.DG/9902111. | MR 1920190 | Zbl 1072.58023

[Lo04] J. Lott – «  Remark about the spectrum of the p-form Laplacian under a collapse with curvature bounded below  », Proc. Am. Math. Soc., 132, p. 911–918, 2004, math.DG/0202196. | MR 2019973 | Zbl 1042.58018

[LY80] P. Li et S.T. Yau – «  Estimates of eigenvalues of a compact riemannian manifold  », Proceedings Symposium on Pure Math., pages 205–239, 1980. | MR 573435 | Zbl 0441.58014

[Ta02] J. Takahashi – «  Small eigenvalues on p-forms for collapsings of the even-dimensional spheres  », Manuscripta mathematica, 109 (1), p. 63–71, 2002. | MR 1931208 | Zbl 1053.58015

[Ya91] T. Yamaguchi – «  Collapsing and pinching under a lower curvature bound  », Annals of math., 133 (2), p. 317–357, 1991. | MR 1097241 | Zbl 0737.53041

Cité par Sources :