Le formalisme et la controverse Poincaré-Hilbert
Séminaire de Philosophie et Mathématiques no. 6  (1984), p. 1-20
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Campan, Florica. Le formalisme et la controverse Poincaré-Hilbert. Séminaire de Philosophie et Mathématiques, no. 6 (1984), pp. 1-20. http://www.numdam.org/item/SPHM_1984___6_A1_0/

1. Henri Poincaré : "Le libre examen en mathématique" dans : "Dernières pensées". Flammarion, Paris, 1933, pg. 330.

2. Dans plusieurs articles H. Poincaré a analysé minutieusement et souvent critiqué l'oeuvre principale de Hilbert "Grundlagen der Geométrie". Par exemple, dans "Les fondements de la géométrie" (o.p.1, pg. 261) d'où nous citons : "M. Hilbert a, pour ainsi dire, cherché à mettre les axiomes sous une forme telle qu'ils puissent être appliqués par quelqu'un qui n'en comprendrait pas le sens, parce qu'il n'aurait jamais vu ni points, ni droite, ni plan... On pourra ainsi construire toute la géométrie, je ne dirais pas précisément sans y rien comprendre, puisqu'on saisira l'enchaînement logique des propositions, mais tout au moins sans y rien voir... On pourrait confier les axiomes à une machine à raisonner... et on en verrait sortir toute la géométrie" (o.c.1 pg. 267). De même dans : "Pourquoi l'espace a trois dimensions" : "M. Hilbert a cherché à fonder une géométrie qu'on a appelée rationnelle parce qu'elle est affranchie de tout appel à l'intuition. Elle repose sur un certain nombre d'axiomes ou de postulats qui sont regardés, non comme des vérités intuitives, mais comme des définitions déguisées" (o.c.1, pg.94). Ou, encore dans : "La logique de l'infini", ou nous lisons : "au début de la géométrie, M. Hilbert introduit des choses.... Pour que cela soit légitime, il faut démontrer que les axiomes ainsi introduits ne sont pas contradictoires, et M. Hilbert y a parfaitement réussi en ce qui concerne la géométrie, parce qu'il supposait l'analyse déjà constituée" (o.c.1, pg.122). de même dans : "Les logiques nouvelles", Poincaré ajoute : "Quel est en somme le théorème fondamental de la Géométrie ? C'est que les axiomes de la Géométrie n'impliquent pas contradiction et, cela, on ne peut le démontrer sans le principe d'intuition. Comment Hilbert démontre-t-il ce point essentiel ? C'est en s'appuyant sur l'Analyse et par elle sur l'Arithmétique, et par elle sur le principe d'induction. Et si jamais on invente une autre démonstration, il faudra encore s'appuyer sur ce principe, puisque les conséquences possibles des axiomes, dont il faut montrer qu'elles ne sont pas contradictoires, sont en nombre infini" (dans "Science et Méthode, pg.185).

3. Il est bien connu qu'il existe deux méthodes fondamentales pour présenter les systèmes mathématiques : la méthode génétique ou constructive et la méthode axiomatique. La méthode constructive est fondée sur les généralisations successives qui découlent des notions simples préalablement établies. Pour la géométrie, les choses sont différentes car elle ne peut accepter que le point "soit à la base du continuum. C'est par les définitions et par les axiomes que Euclide a introduit les points, les lignes et les surfaces.

4. David Hilbert : Uber den Zahlbegriff. Jahrsber. Deutsch. Math. Ver. T. 8, 1900, pg. 84. | JFM 31.0165.02

5. Dans "Proceeding of Symposia in Pure mathematics, vol. XXVIII, Amer. Math. Soc. 1976 sont publiés les conférences du "Symposium sur le développement mathématique ultérieur des problèmes proposés par Hilbert en 1900". Les pages 93-131 contiennent le travail de G. Kreisel : "What have we learnt from Hilbert's second problem"? | MR 434781

6. D. Hilbert : Problèmes mathématiques. L'Enseignement mathématique. T. II, 1900, pg. 349. | JFM 31.0905.03

7. N. Bourbaki : Elements d'histoire des mathématiques. Hermann, Paris, 1969, pg. 52. | MR 243970 | Zbl 0181.29201

8. H. Poincaré : "Le nombre et la grandeur", dans la science et l'Hypothèse, Paris, 1925, pg. 20-28.

9. H. Poincaré : "L'intuition et la logique en mathématique" dans : La valeur de la Science. Paris, 1925, pg. 25. | JFM 30.0080.03

10. D. Hilbert : "Sur les fondements de la logique et de l'arithmétique", dans : l'Enseignement mathématique, T VII, 1905, pg. 89. | JFM 36.0084.04

11. H. Poincaré : "Les mathématiques et la Logique", dans Science et Méthode. Paris, 1927, pg. 152 et 156. | JFM 36.0081.05

12. H. Poincaré : "Les Logiques nouvelles" Chap.VI : La logique de Hilbert, (o.c.11, pg. 179).

13. Constance Reid : Hilbert. Springer-Verlag, Berlin, 1970, pg. 100. | MR 270884 | Zbl 0192.32601

14. Rappelons d'abord que ce prix a été décerné pour la première fois en 1905, quand l'Académie hongroise des sciences a décidé de fonder ce prix international, qui devait porter le nom de Prix Bolyai, pour être attribué au mathématicien qui avait le plus contribué au progrès de la mathématique pendant les dernières 25 années. Les seuls mathématiciens en vue étant Poincaré et Hilbert, c'est Poincaré qui a reçu le prix avec unanumité de voix. D'après le règlement, ce prix devait être ensuite décerné de cinq en cinq ans et, en 1910, H. Poincaré a été désigné comme Rapporteur de la Commission élue par l'Académie pour établir le nouveau candidat du second prix Bolyai.

15. Procès-verbal : Prix Bolyai : Bull. Sci. Math, T. 35, I, Paris, 1911, pg. 67.

16. Jules Tannery : "La philosophie de M. Henri Poincaré" dans : "Science et Philosophie". Paris, 1924, pg. 68.

17. H. Poincaré : "L'invention mathématique", (o.c.11, pg. 43) | JFM 39.0082.01

18. De même que Descartes, qui disait : "J'entends par intuition non la croyance au témoignage des sens en les jugements trompeurs de l'imagination, mais la conception d'un esprit sain et attentif, si facile et si distinct qu'aucun doute ne reste sur ce que nous comprenons", Poincaré a considéré l'intuition comme la faculté de vision intellectuelle directe, une opération de l'esprit que l'on oppose à la connaissance logique.

19. Dans le même article (pg.26) Poincaré ajoute encore : "L'analyse pure met à notre disposition une foule de procédés dont elle nous garantit l'infaillibilité ; elle nous Œuvre mille chemins différents où nous pouvons nous engager en toute confiance ; nous sommes assurées de n'y pas rencontrer d'obstacles ; mais, de tous ces chemins, quel est celui qui nous mènera le plus promptement au but ? Qui nous dira lequel il faut choisir ? Il nous faut une faculté qui nous fasse voir le but de loin, et cette faculté, c'est l'intuition. Elle est nécessaire à l'explorateur pour choisir sa route, elle ne l'est pas moins à celui qui marche sur ses traces et qui veut savoir pourquoi il l'a choisie".

20. D. Hilbert : "Pensée axiomatique". L'Enseign. Math. T. XX, 1918, pg. 122. | JFM 46.0064.02

21. On sait bien que "la grande crise des mathématiques", selon l'expression de H. Weyl, consistait dans une série de difficultés apparues dans la théorie des ensembles, difficultés considérées de nature purement logique ou, plutôt de nature philosophique. C'est pourquoi les mathématiciens ont cherché de trouver les assurances de la non-contradiction en réexaminant de près les procédés de raisonnement utilisés dans les fondements des mathématiques. Mais l'intention s'est transformé bientôt dans une polémique entre les logisticiens, les intuitionistes, les formalistes, etc. Le formalisme, conçu par Hilbert, a été inspiré par la méthode de formalisation utilisée par les logiciens qui ont montré qu'on peut exprime-les raisonnements mathématiques par des symboles, réduisant ainsi les démonstrations à des règles. Celles-ci permettaient de passer d'une série de formules à d'autres. La non-contradiction devant être prouvée en démontrant qu'il est impossible de déduire deux formules contradictoires A et Ā.

22. Je veux rappeller la controverse qui opposa, dans les premières années de ce siècle, Borel et Lebesgue, ainsi que quelques autres mathématiciens français à Hilbert et aux tenants du formalisme en mathématique." Là où Hilbert se bornait à exiger la non-contradiction des théories, Borel et Lebesgue réclamaient une certaine forme d'existence des êtres mathématiques. Les constructions proposées par les formalistes et faisant intervenir notamment des ensembles non dénombrables paraissaient inacceptables à leurs adversaires, parce qu'ils ne correspondaient à aucune réalité". (G. Hirsch : Mathématisation et réalité, dans : "Actes du Colloque sur "Les mathématiques et la réalité". Séminaire de Mathématique de Luxembourg, 1974. pg. 12.

23. F. Gonseth : "Sur les questions méthodologiques actuelles de la théorie hilbertienne de la démonstration" dans : "Les entretiens de Zürich sur les fondements et la méthode des sciences mathématiques, 1938". Zürich, 1941, pg. 144. | JFM 67.0037.02 | Zbl 0061.00901

24. Jean Cavaillès : Axiomatique et système formel. II, Paris, Herman, 1928, pg. 98.

25. R. Feys : "La formalisation comme suggestion rigoureuse" dans : "Les méthodes formelles en axiomatique" Colloques internat. C.N.R.S. Paris, 1950, pg. 55 | Zbl 0050.00306

26. L'article de Feys continue ainsi : "Le domaine propre des méthodes formalisées est celui de la recherche des propriétés déductives : constance, perfection (suffisance), indépendance. Dans ce domaine les méthodes formalisées ont ouvert des perspectives nouvelles ou ont révélé les limites insoupçonnées au raisonnement plutôt que de donner aux questions une solution simpliste et définitive.... Un système formalisé peut également servir à exprimer des lois de la nature, du fait qu'il y a correspondance entre ses symboles et les événements". Enfin, l'auteur termine son étude en citant cette maxime d'Heraclite que je trouve trop belle pour la laisser de côté "Le Dieu qui est à Delphes -Apollon, le Dieu de l'oracle- ne révèle pas, il ne cache pas, il s'exprime par signe". Il suggère par signes, dit R. Feys, et ces signes énigmatiques ne sont pas une tromperie. Mais à nous de les interpréter".

27. Emile Picard : "L'oeuvre de Henri Poincaré" dans : Discours et mélange. Paris, 1922, pg. 201. | JFM 44.0025.02 | Numdam

28. D. Hilbert : "La connaissance de la nature et la logique". L'Enseig. Math. T. 30, 1931, pg. 22. | JFM 57.0054.03

29. Emile Picard : "Pascal, mathématicien et physicien" dans "Eloges et Discours académique". Paris, 1931, pg. 20. | JFM 50.0018.02