Groupes de Galois de corps de type fini

Szamuely, Tamás

Séminaire Bourbaki : volume 2002/2003, exposés 909-923, Astérisque, no. 294 (2004), Talk no. 923, pp. 403-431.

Some years ago, Florian Pop showed that a field which is finitely generated over its prime field is determined up to isomorphism by its absolute Galois group (allowing a finite purely inseparable extension in positive characteristic). This theorem, whose pedigree can be traced back to investigations by Neukirch concerning Galois groups of number fields in the early 1970's, gives a positive answer to the so-called “birational anabelian conjecture”of A. Grothendieck formulated in 1983. In work in progress, Pop extends the above result to fields of finite type and of dimension at least 2 over the algebraic closure of the prime field; the case of dimension 2 was also considered recently by Bogomolov et Tschinkel. The lecture will survey the known results in the area and then present the main ideas entering Pop's proofs.

Il y a quelques années, Florian Pop a démontré que tout corps de type fini sur le corps premier est déterminé à isomorphisme près par son groupe de Galois absolu (quitte à passer à une extension purement inséparable en caractéristique positive). Ce théorème, dont la généalogie remonte à des travaux de Neukirch sur les groupes de Galois de corps de nombres au début des années 1970, répond positivement à la “conjecture anabélienne birationnelle”de A. Grothendieck formulée en 1983. Dans un travail en cours, Pop étend le résultat à un corps de type fini, de dimension au moins 2, sur la clôtelques années, Florian Pop a démontré que tout corps de type fini sur le corps premier est déterminé à isomorphisme près par son groupe de Galois absolu (quitte à passer à une extension purement inséparable en caractéristique positive). Ce théorème, dont la généalogie remonte à des travaux de Neukirch sur les groupes de Galois de corps de nombres au début des années 1970, répond positivement à la “conjecture anabelienne birationnelle” de A. Grothendieck formulée en 1983. Dans un traure algébrique du corps premier ; le cas de dimension 2 a été également traité récemment par Bogomolov et Tschinkel. L'exposé passera en revue les résultats obtenus dans ce domaine et donnera les grandes idées des démonstrations de Pop.

Classification: 12F10, 14E20, 14H25, 14J20
Mot clés : groupe de Galois absolu, corps de fonctions, géométrie anabélienne
Keywords: absolute Galois group, function field, anabelian geometry

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