Measured quantum groupoids
Mémoires de la Société Mathématique de France, no. 109 (2007) , 166 p.

In this volume, we give a definition for measured quantum groupoids. We want to get objects with duality extending both quantum groups and groupoids. We base ourselves on J. Kustermans and S. Vaes’ works about locally compact quantum groups that we generalize thanks to formalism introduced by M. Enock and J.M. Vallin in the case of inclusion of von Neumann algebras. From a structure of Hopf-bimodule with left and right invariant operator-valued weights, we define a fundamental pseudo-multiplicative unitary. To get a satisfying duality in the general case, we assume the existence of an antipode given by its polar decomposition. This theory is illustrated with many examples among others inclusion of von Neumann algebras (M. Enock) and a sub family of measured quantum groupoids with easier axiomatic.

Dans cet volume, on définit une notion de groupoïdes quantiques mesurés. On cherche à obtenir des objets munis d’une dualité qui étend celle des groupoïdes et des groupes quantiques. On s’appuie sur les travaux de J. Kustermans et S. Vaes concernant les groupes quantiques localement compacts qu’on généralise grâce au formalisme introduit par M. Enock et J.M. Vallin à propos des inclusions d’algèbres de von Neumann. À partir d’un bimodule de Hopf muni de poids opératoriels invariants à gauche et à droite, on définit un unitaire pseudo-multiplicatif fondamental. Pour obtenir une dualité satisfaisante dans le cas général, on suppose l’existence d’une antipode définie par sa décomposition polaire. Cette théorie est illustrée dans une dernière partie par de nombreux exemples notamment les inclusions d’algèbres de von Neumann (M. Enock) et une sous famille de groupoïdes quantiques mesurés à l’axiomatique plus simple.

DOI: 10.24033/msmf.421
Classification: 46LXX
Keywords: Quantum groupoids, antipode, pseudo-multiplicative unitary
Mot clés : Groupoïdes quantiques, antipode, unitaire pseudo-multiplicatif
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Lesieur, Franck. Measured quantum groupoids. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, no. 109 (2007), 166 p. doi : 10.24033/msmf.421. http://numdam.org/item/MSMF_2007_2_109__1_0/

[ADR00] C. Anantharaman-Delaroche & J. RenaultAmenable groupoids, Monographie de l’Enseignement Mathématique, Genève, 2000. | MR | Zbl

[BS93] S. Baaj & G. Skandalis« Unitaires multiplicatifs et dualité pour les produits croisés de C * -algèbres », Ann. Sci. École Norm. Sup. 26 (1993), p. 425–488. | MR | EuDML

[BDH88] M. Baillet, Y. Denizeau & J. Havet« Indice d’une espérance conditionnelle », Compositio Math. 66 (1988), p. 199–236. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[Bla96] E. Blanchard« Déformations de C * -algèbres de Hopf », Bull. Soc. math. France 124 (1996), p. 141–215. | MR | EuDML

[BNS99] G. Böhm, F. Nill & K. Szlachányi« Weak Hopf algebras I. Integral theory and C * -structure », J. Algebra 221 (1999), p. 385–438. | MR | Zbl

[BSz96] G. Böhm & K. Szlachányi« A coassociative C * -quantum group with non integral dimensions », Lett. Math. Phys. 35 (1996), p. 437–456. | MR | Zbl

[Co79] A. Connes« Sur la théorie non commutative de l’intégration », in Algèbres d’Opérateurs, Lecture Notes in Math., vol. 725, Springer-Verlag, Berlin/New-York, 1979, p. 19–143. | MR

[Co80] —, « On the spatial theory of von Neumann algebras », J. Funct. Analysis 35 (1980), p. 153–164. | MR | Zbl

[Co94] —, Non Commutative Geometry, Academic Press, 1994.

[Da03] M. David« C * -groupoïdes quantiques et inclusions de facteurs : structure symétrique et autodualité. Action sur le facteur hyperfini de type II 1 », J. Operator Theory 54 (2005), no. 1, p. 27–68. | MR

[EN96] M. Enock & R. Nest« Inclusions of factors, multiplicative unitaries and Kac algebras », J. Funct. Analysis 137 (1996), p. 466–543. | MR | Zbl

[Eno00] M. Enock« Inclusions of von Neumann algebras and quantum groupoids II », J. Funct. Analysis 178 (2000), p. 156–225. | MR | Zbl

[Eno02] —, « Quantum groupoids of compact type », J. Inst. Math. Jussieu 4 (2005), no. 1, p. 29–133. | MR | Zbl

[Eno04] —, « Inclusions of von Neumann algebras and quantum groupoids III », J. Funct. Analysis 223 (2005), no. 2, p. 311–364. | MR | Zbl

[ES89] M. Enock & J. SchwartzKac algebras and Duality of locally compact Groups, Springer-Verlag, Berlin, 1989. | MR

[EV00] M. Enock & J. Vallin« Inclusions of von Neumann algebras and quantum groupoids », J. Funct. Analysis 172 (2000), p. 249–300. | MR | Zbl

[Hah78a] P. Hahn« Haar measure for measured groupoids », Trans. Amer. Math. Soc. 242 (1978), p. 1–33. | MR | Zbl

[Hah78b] —, « The regular representations of measured groupoids », Trans. Amer. Math. Soc. 242 (1978), p. 35–72. | MR | Zbl

[KaV74] G. Kac & L. Vaĭnerman« Nonunimodular ring-groups and Hopf-von Neumann algebras », Math. USSR 23 (1974), p. 185–214. | MR

[Kus97] J. Kustermans« KMS-weights on * -algebras », (1997), funct-an/9704008.

[Kus02] —, « Induced corepresentations of locally compact quantum groups », J. Funct. Analysis 194 (2002), p. 410–459. | MR | Zbl

[KV99] J. Kustermans & S. Vaes« Weight theory for * -algebraic quantum groups », preprint University College Cork & KU1 Leuven, 1999, math/99011063. | MR

[KV00] —, « Locally compact quantum groups », Ann. Sci. École Norm. Sup. 33 (2000), no. 6, p. 837–934. | MR | EuDML | Zbl

[KV03] —, « Locally compact quantum groups in the von Neumann algebraic setting », Mathematica Scandinava 92 (2003), no. 1, p. 68–92. | MR | Zbl

[KVD97] J. Kustermans & A. Van Daele« * -algebraic quantum groups arising from algebraic quantum groups », Int. J. Math., 8 (1997), p. 1067-1139, QA/9611023. | MR | Zbl

[Les03] F. LesieurThèse, University of Orléans, available at: http://tel.ccsd.cnrs.fr/documents/archives0/00/00/55/05.

[Mac66] G. Mackey« Ergodic theory and virtual groups », Math. Ann. 186 (1996), p. 187–207. | MR | EuDML | Zbl

[MN91] T. Masuda & Y. Nakagami« An operator algebraic framework for the duality of quantum groups », in Mathematical Physics X (Proc. AMP-91, Univ. Leipzig, 1991) (K. Schmüdgen, éd.), Springer-Verlag, Berlin, 1992, p. 291–295. | MR | Zbl

[MNW03] T. Masuda, Y. Nakagami & S. Woronowicz« A * -algebraic framework for the quantum groups », math.QA/0309338. | Zbl

[Nik02] D. Nikshych« On the structure of weak Hopf algebras », Advances Math. 170 (2002), p. 257–286, in section 3. | MR | Zbl

[NV00] D. Nikshych & L. Vaĭnerman« Algebraic versions of a finite dimensional quantum groupoid », 2000, p. 189–221. | MR | Zbl

[NV02] —, « New directions in Hopf algebras », MSRI Publications, vol. 43, Cambridge University Press, 2002, p. 211–262.

[Nil98] F. Nill« Axioms of weak Bialgebras », (1998), math.QA/9805104.

[Ren80] J. RenaultA groupoid approach to C * -Algebras, Lecture Notes in Math., vol. 793, Springer-Verlag. | MR | Zbl

[Ren97] —, « The Fourier algebra of a measured groupoid and its multipliers », J. Funct. Analysis, 145 (1997), 455-490. | MR | Zbl

[Sau83a] J.-L. Sauvageot« Produit tensoriel de Z-modules et applications », in Operator Algebras and their Connections with Topology and Ergodic Theory (Proceedings Busteni, Romania), Lecture Notes in Math., vol. 1132, Springer-Verlag, 1983, p. 468–485. | MR

[Sau83b] —, « Sur le produit tensoriel relatif d’espaces de Hilbert », J. Operator Theory 9 (1983), p. 237–352. | Zbl

[Sau86] —, « Une relation de chaîne pour les dérivées de Radon-Nykodym spatiales », Bull. Soc. Math. France 114 (1986), p. 105–117. | MR | EuDML | Zbl | Numdam

[Str81] S. StrătilăModular theory in operator algebras, Abacus Press, Turnbridge Wells, England, 1981. | MR | Zbl

[Tak03] M. TakesakiTheory of Operator Algebras II, Encycl. Math. Sci., vol. 125, Springer, 2003. | MR | Zbl

[Vae01a] S. Vaes« A Radon-Nikodym theorem for von Neumann algebras », J. Operator Theory 46 (2001), p. 477–489. | MR | Zbl

[Vae01b] —, « The unitary implementation of a locally compact quantum group action », J. Funct. Analysis 180 (2001), p. 426–480. | MR | Zbl

[VV03] S. Vaes & L. Vaĭnerman« Extensions of locally compact quantum groups and the bicrossed product construction », Advances in Math. 175 (2003), no. 1, p. 1–101. | MR | Zbl

[Val96] J. Vallin« Bimodules de Hopf et Poids opératoriels de Haar », J. Operator theory 35 (1996), p. 39–65. | MR

[Val00] —, « Unitaire pseudo-multiplicatif associé à un groupoïde, applications à la moyennabilité », J. Operator theory 44 (2000), p. 347–368. | MR

[Val01] —, « Groupoïdes quantiques finis », J. Algebra 239 (2001), p. 215–261. | MR

[Val02] —, « Multiplicative partial isometries and finite quantum groupoids », in Proceedings of the Meeting of Theorical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, IRMA, Lect. Math. Theor. Physics, vol. 2, 2002, p. 189–227. | Zbl

[Val03] —, « Deformation of finite dimensional * -quantum groupoids », (2003), math.QA/0310265.

[VDa95] A. Van Daele« The Haar measure on a compact quantum group », Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), p. 3125–3128. | MR | Zbl

[VDa98] A. Van Daele« An algebraic framework for group duality », Adv. in Math. 140 (1998), p. 323–366. | MR | Zbl

[VDa01] —, « The Haar measure on some locally compact quantum groups », (2001), math.OA/0109004.

[Wor87] S. Woronowicz« Twisted SU(2) group. An example of a non-commutative differential calculus », Publ. RIMS 23 (1987), p. 117–181, Kyoto University. | MR | Zbl

[Wor88] —, « Tannaka-Krein duality for compact matrix pseudogroups. Twisted SU(N) group », Invent. Math. 93 (1988), p. 35–76. | MR | Zbl

[Wor91] —, « Quantum E(2) group and its Pontryagin dual », Lett. Math. Phys. 23 (1991), p. 251–263. | MR | Zbl

[Wor95] —, Compact quantum groups: Les Houches, Session LXIV, 1995, Quantum Symmetries, Elsevier, 1998.

[Wor96] —, « From multiplicative unitaries to quantum groups », Int. J. Math. 7 (1996), no. 1, p. 127–149. | MR | Zbl

[Wor01] —, « Quantum “az+b" group on complex plane », International J. Math. 12 (2001), p. 461–503. | MR | Zbl

[WZ02] —, « Quantum “ax+b" group », to appear in Reviews in Mathematical Physics. | Zbl

[Yam93] T. YamanouchiDuality for actions and co-actions of groupoids on von Neumann algebras, Memoirs of the AMS, vol. 484, 1993. | MR | Zbl

Cited by Sources: