We consider a symplectic group and an irreductible dual pair in in the sense of R. Howe. Let (resp. ) be the Lie algebra of (resp. ). T. Przebinda has defined a map , called the Cauchy Harish-Chandra integral from the space of smooth compactly supported functions of to the space of functions defined on the open set of semisimple regular elements of . We prove that these functions are invariant integrals if and are linear groups and behave locally like invariant integrals if and are unitary groups of same rank. In this last case, we obtain the jump relations up to a multiplicative constant which only depends on the dual pair.
On considère un groupe symplectique et une paire duale réductive et irréductible de au sens de R. Howe. On désigne par (resp. ) les algèbres de Lie de (resp. ). T. Przebinda définit une application appelée intégrale de Cauchy Harish-Chandra et notée qui associe à toute fonction de une fonction définie sur , l’ouvert des éléments semi-simples réguliers. Dans cet article, on montre que ces fonctions sont des intégrales invariantes si la paire est de type II et possèdent les propriétés locales des intégrales invariantes si la paire est formée de groupes unitaires de même rang. Les relations de saut sont alors obtenues à une constante multiplicative près.
Classification: 22E46
Keywords: Unitary group, orbital integral, theta correspondence
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Bernon, Florent. Propriétés de l’intégrale de Cauchy Harish-Chandra pour certaines paires duales d’algèbres de Lie. Mémoires de la Société Mathématique de France, Serie 2, , no. 93 (2003), 143 p. doi : 10.24033/msmf.406. http://www.numdam.org/item/MSMF_2003_2_93__1_0/
[1] – « Propriétés de l’intégrale de Cauchy Harish-Chandra pour certaines paires duales d’algèbres de Lie », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 334 (2002), p. 945–948.
[2] – « Intégrales orbitales sur les algèbres de Lie réductives », Invent. Math. 115 (1994), p. 163–207. | MR 1248081
[3] – The Analysis of Linear Partial Differential Operator I, Springer-Verlag, 1983. | MR 705278
[4] – « Transcending Classical Invariant Theory », J. Amer. Math. Soc. 2 (1989), p. 535–552. | MR 985172 | Zbl 0716.22006
[5] , et – Correspondance de Howe sur un corps -adique, Lect. Notes in Math., vol. 1291, Springer-Verlag, 1987. | MR 1041060
[6] – « A Cauchy Harish-Chandra Integral, for a real reductive dual pair », Invent. Math. 141 (2000), p. 299–363. | MR 1775216 | Zbl 0953.22014
[7] – « On the Character of the Discrete Series. The Hermitian Symmetric Case », Invent. Math. 30 (1975), p. 47–144. | MR 396854 | Zbl 0324.22007
[8] – « Conjugate classes of Cartan subalgebras in real semisimple Lie algebras », J. Math. Soc. Japan 11 (1959), p. 374–434. | MR 146305 | Zbl 0204.04201
[9] – Idéaux de fonctions différentiables, Springer-Verlag, 1972. | MR 440598 | Zbl 0251.58001
[10] – Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, 1967. | MR 225131
[11] – Harmonic Analysis on Real Reductive Groups, Lect. Notes in Math., vol. 576, Springer-Verlag, 1977. | MR 473111 | Zbl 0354.43001
