L'analyse implicative bayésienne multivariée d'un questionnaire binaire : quasi-implications et treillis de Galois simplifié
Mathématiques et Sciences humaines, Tome 147 (1999), pp. 25-46.

Nous proposons une nouvelle méthode pour simplifier le treillis de Galois associé à un questionnaire binaire (n individus classés selon q questions binaires), méthode basée sur l’affaiblissement des implications portées par le treillis en quasi-implications. Au niveau descriptif, la méthode proposée fait intervenir un nouvel indice pour la mesure des quasi-implications (l’«indice implicatif multivarié») qui satisfait certaines conditions d’invariance par équivalence logique. Au niveau inductif, l’incertitude sur les fréquences vraies des profils est exprimée par un «modèle Dirichlet imprécis». Ce modèle répond aux difficultés des modèles bayésiens usuels fondés sur une distribution de Dirichlet unique, notamment pour le cas où n est petit devant 2 q . Un aspect important de la méthode est que les résumés descriptif et inductif qu’elle fournit constituent des treillis de Galois, versions simplifiées du treillis initial.

We propose a new method for simplifying the Galois lattice associated to a binary questionnaire (n units classified according to q binary questions). The method consists in weakening the implications borne by the lattice into quasi-implications. At the descriptive level, the method involves a new measure for quasi-implications (the “multivariate implicative index”) which satisfies some requirements of invariance by logical equivalence. At the inductive level, uncertainty about the patterns’ true frequencies is expressed by an imprecise-Dirichlet model. This model is shown to have several advantages over the usual non-informative Bayesian approach based on a single Dirichlet prior, especially for the case where n is small in comparison to 2 q . An important feature of the method is that it provides two implicative summaries, descriptive and inductive, which both constitute simplified versions of the initial Galois lattice.

Mots clés : données binaires, méthodes booléennes, indice implicatif multivarié, inférence bayésienne, probabilités imprécises, modèle Dirichlet imprécis
@article{MSH_1999__147__25_0,
     author = {Bernard, Jean-Marc and Poitrenaud, S\'ebastien},
     title = {L'analyse implicative bay\'esienne multivari\'ee d'un questionnaire binaire : quasi-implications et treillis de {Galois} simplifi\'e},
     journal = {Math\'ematiques et Sciences humaines},
     pages = {25--46},
     publisher = {Ecole des hautes-\'etudes en sciences sociales},
     volume = {147},
     year = {1999},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/MSH_1999__147__25_0/}
}
TY  - JOUR
AU  - Bernard, Jean-Marc
AU  - Poitrenaud, Sébastien
TI  - L'analyse implicative bayésienne multivariée d'un questionnaire binaire : quasi-implications et treillis de Galois simplifié
JO  - Mathématiques et Sciences humaines
PY  - 1999
DA  - 1999///
SP  - 25
EP  - 46
VL  - 147
PB  - Ecole des hautes-études en sciences sociales
UR  - http://www.numdam.org/item/MSH_1999__147__25_0/
LA  - fr
ID  - MSH_1999__147__25_0
ER  - 
Bernard, Jean-Marc; Poitrenaud, Sébastien. L'analyse implicative bayésienne multivariée d'un questionnaire binaire : quasi-implications et treillis de Galois simplifié. Mathématiques et Sciences humaines, Tome 147 (1999), pp. 25-46. http://www.numdam.org/item/MSH_1999__147__25_0/

Barbut, M., Monjardet, B. (1970), Ordre et classification, Algèbre et combinatoire, Tome 2, Paris: Hachette. | Zbl 0267.06001

Bernard, J.-M. (1996), "Bayesian Interpretation of Frequentist Procedures for a Bernoulli Process", The American Statistician, 50, 7-13.

Bernard, J.-M. (1997), "Bayesian Analysis of Tree-Structured Categorized Data", Revue Internationale de Systémique, 11, 11-29. | Zbl 0891.62014

Bernard, J.-M. (1998), "Bayesian Inference for Categorized Data", In New Ways in Statistical Methodology, par H. Rouanet et al. (1998), Berne: Peter Lang, à paraître. | MR 1696566

Bernard, J.-M., Charron, C. (1996a), "L'Analyse implicative bayésienne : une méthode pour l'étude des dépendances orientées. I : Données binaires", Mathématiques, Informatique et Sciences humaines, 134, 5-38. | Numdam | Zbl 0865.62082

Bernard, J.-M., Charron, C. (1996b), "L'Analyse implicative bayésienne : une méthode pour l'étude des dépendances orientées. II : Modèle logique sur un tableau de contingence", Mathématiques, Informatique et Sciences humaines, 135, 5-18. | Numdam | Zbl 0914.62045

Bordat, (1986), "Calcul pratique du treillis de Galois d'une correspondance", Mathématiques et Sciences humaines, 96, 31-47. | Numdam | Zbl 0626.06007

Degenne, A. (1972), Techniques ordinales en analyse des données, Paris: Hachette. | MR 400554

Duquenne, V. (1987), "Contextual implications between attributes and some representation properties for finite lattices", In Beiträge zur Begriffsanalyse, Ganter, Wille, Wolf (eds), Mannheim: Wissenschaftsverlag, 213-239. | MR 949456

Duquenne, V. (1992a), "GLAD (General Lattice Analysis & Design), a Fortran program for a GLAD user", MSH - Maison Suger, Paris.

Duquenne, V. (1992b), "On associations between handicaps", preprint P. 068 CAMS-EHESS, Paris.

Duquenne, V. (1996), "On Lattice Approximations : Syntactic Aspects ", Social Networks, 18, 189-199.

Flament, C. (1966), "L'analyse booléenne de questionnaires", Mathématiques et Sciences humaines, 12, 3-10. | Numdam

Flament, C. (1976), L'analyse booléenne de questionnaires, Paris: Mouton. | MR 682614

Ganter, B. (1995), "Lattice Theory and Formal Concept Analysis - a Subjective Introduction -", In Lattice Theory and its Applications, K. A. Baker and R. Wille (eds), Helderman Verlag, 79-90. | MR 1366866 | Zbl 0834.06012

Gelman, A., Carlin, J.B., Stern, H.S., Rubin, D.B. (1995), Bayesian Data Analysis, London: Chapman & Hall. | MR 1385925 | Zbl 0914.62018

Guénoche, A. (1990), "Construction du treillis de Galois d'une relation binaire", Mathématiques, Informatique et Sciences humaines, 109, 41-53. | Numdam | MR 1053895 | Zbl 0707.06003

Guénoche, A., Van Mechelen, I. (1993), "Galois Approach to the Induction of Concepts ", In Categories and Concepts : Theoretical Views and Inductive Data Analysis, I. Van Mechelen et al. (eds.), Academic Press, 287-308.

Guigues, J.-L., Duquenne, V. (1986), "Familles minimales d'implications informatives résultant d'un tableau de données binaires", Mathématiques et Sciences humaines, 95, 5-18. | Numdam | MR 868423

Guttman, L. (1944), "A Basis for Scaling Qualitative Data", American Sociological Review, 9, 139-150. | MR 10352

Haldane, J.B.S. (1948), "The Precision of Observed Values of Small Frequencies," Biometrika, 35, 297-300. | MR 29137 | Zbl 0039.36205

Hildebrand, D.K., Laing, J.D., Rosenthal, H. (1977), Prediction Analysis of Cross Classifications, New-York: Wiley. | MR 652957 | Zbl 0425.62005

Jeffreys, H. (1961), Theory of Probability, 3rd ed., Oxford: Clarendon Press. | MR 187257 | Zbl 0116.34904

Kendall, M.G., Stuart, A. (1973), The Advanced Theory of Statistics, Vol. 2 : Inference and Relationship, 3ème ed., London: Griffin. | MR 474561 | Zbl 0249.62003

Loevinger, J. (1948), "The Technic of Homogeneous Tests Compared with some Aspects of Scale Analysis and Factor Analysis", Psychological Bulletin, 45, 507-530.

Luxenburger, M. (1991), "Implications partielles dans un contexte", Mathématiques, Informatique et Sciences humaines, 113, 35-55. | Numdam | MR 1105693 | Zbl 0751.06006

Perks, F.J.A. (1947), "Some Observations on Inverse Probability Including a New Indifference Rule", Journal of the Institute of Actuaries, 73, 285-334. | MR 25103 | Zbl 0031.06001

Poitrenaud, S. (1995), "The Procope Semantic Network : an alternative to action grammars", International Journal of Human-Computer Studies, 42, 31-69.

Poitrenaud, S. (1998), La Représentation des PROCédures chez l'OPErateur : Description et Mise en Oeuvre des Savoir-faire, Thèse de l'Université de Paris VIII, Saint-Denis, Décembre 1998.

Rouanet, H., Bernard, J.-M., Le Roux, B. (1990), Statistique en Sciences Humaines : Analyse Inductive des Données, Paris: Dunod.

Rouanet, H., Lecoutre, M.-P., Bert, M.-C., Lecoutre, B., Bernard, J.-M. (1998), New Ways in Statistical Methodology, Berne: Peter Lang, à paraître. | MR 1696566 | Zbl 0930.62104

Walley, P. (1991), Statistical Reasoning with Imprecise Probabilities, Monographs on Statistics and Applied Probability 42, London: Chapman & Hall. | MR 1145491 | Zbl 0732.62004

Walley, P. (1996), "Inferences from Multinomial Data : Learning about a Bag of Marbles", Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 58, 3-57. | MR 1379233 | Zbl 0834.62004

Walley, P., Bernard, J.-M. (1998), "Imprecise Probabilistic Prediction for Categorical Data", soumis pour publication.

Wille, R. (1982), "Restructuring Lattice Theory : an Approach Based on Hierarchies of Concepts", In Symp. Ordered Sets (I. Rival, ed.), Dordrecht -Boston: Reidel, 445-470. | MR 661303 | Zbl 0491.06008

Wille, R. (1989), "Lattices in data analysis : how to draw them with a computer", In Algorithms and order (I. Rival, ed.), Dordrecht- Boston: Kluwer, 33-58. | MR 1037781