Les produits de chaînes comptent parmi les ensembles (partiellement) ordonnés les plus fréquemment rencontrés. On rappelle, avec des démonstrations en partie nouvelles, divers résultats exacts ou approchés sur les cardinaux de leurs niveaux et sur le nombre de ses niveaux de cardinal maximum. Un plongement avec de bonnes propriétés permet d'appliquer ces résultats aux niveaux du permutoèdre (ordre faible de Bruhat sur les permutations).
Cartesian products of chains are among the most frequently considered (partially) ordered sets. Several exact or asymptotic results on the cardinalities of their levels, and on the number of their maximum cardinality levels, are recalled. Several new proofs are proposed. An embedding with good properties allows us to apply these results to the levels of the permutohedron (the so-called weak Bruhat order on permutations).
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Leclerc, Bruno. Sur le nombre d'éléments des niveaux des produits de chaînes et des treillis permutoèdres. Mathématiques informatique et sciences humaines, Tome 112 (1990), pp. 37-48. http://www.numdam.org/item/MSH_1990__112__37_0/
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