Réalisation de formes -bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées
Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 12 (2000) no. 1, p. 25-36

In this paper, we show by an explicit method that every non degenerate symmetric -bilinear form of even rank, which is not -isomorphic to the hyperbolic plane, can be realized as a hermitian scaled trace form of some algebra [α], where α is an algebraic integer. More precisely, we show that for every symmetric matrix SM 2n (), with detS0 (and detS¬-1 (mod *2 ) if n=1), there exist an algebraic integer α, a -linear involution σ of (α), a σ-symmetric element λ(α) and a -basis v 1 ,,v 2n of some ideal of [α] such that S=(Tr (α)/ (λv i v j σ )).

Dans cet article, on montre de manière explicite que toute forme -bilinéaire symétrique non dégénérée de rang pair, et non -isomorphe au plan hyperbolique, se réalise comme forme trace hermitienne amplifiée d’une algèbre [α], où α est un entier algébrique. Plus précisemment, on montre que pour tout SM 2n () symétrique, avec detS0 (et detS¬-1 (mod *2 ) si n=1), il existe un entier algébrique α, une involution -linéaire σ de (α),λ(α)σ-symétrique et une -base v 1 ,,v 2n d’un idéal de [α] tels que S=(Tr (α)/ (λv i v j σ )).

@article{JTNB_2000__12_1_25_0,
     author = {Berhuy, Gr\'egory},
     title = {R\'ealisation de formes $\mathbb {Z}$-bilin\'eaires sym\'etriques comme formes trace hermitiennes amplifi\'ees},
     journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux},
     publisher = {Universit\'e Bordeaux I},
     volume = {12},
     number = {1},
     year = {2000},
     pages = {25-36},
     zbl = {1014.11030},
     mrnumber = {1827836},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_25_0}
}
Berhuy, Grégory. Réalisation de formes $\mathbb {Z}$-bilinéaires symétriques comme formes trace hermitiennes amplifiées. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 12 (2000) no. 1, pp. 25-36. http://www.numdam.org/item/JTNB_2000__12_1_25_0/

[1] E. Bayer-Fluckiger, Jacques Martinet, Formes quadratiques liées aux algèbres semi-simples. J. reine angew. Math. 451 (1994), 51-69. | MR 1277294 | Zbl 0801.11020

[2] M. Krüskemper, Algebraic construction of bilinear forms over Z. Pub. Math. de Besançon, Théorie des nombres (96/97-97/98).

[3] O. Taussky, On a theorem of Latimer and MacDuffee. Canad. J. Math. 1 (1949), 300-302. | MR 30491 | Zbl 0045.15404

[4] O. Taussky, On matrix classes corresponding to an ideal and its inverse. Illinois Math. J. 1 (1957), 108-113. | MR 94326 | Zbl 0078.02903