Let be relatively prime polynomials with complex coefficients and maximal degree (> ). The Mason’s theorem implies that does not exceed the number of distinct roots of the product . Similarly, let be relatively prime positive integers and max. Let be the product of all primes dividing the product . The -conjecture implies that, for any , there exists such that the inequality: holds for any triple of integers. The cases of equality for polynomials are linked to numerous results in number theory ; triples of integers generated by these cases lead, by using the abc-conjecture, to optimal minoration of (where is a form and are coprime integers) ; in these polynomial constructions of integers, the role of the Mason’s theorem is crucial.
Soient trois éléments de l’ensemble des entiers > (resp. ) des polynômes complexes) premiers entre eux ; on note le produit des facteurs premiers (resp. le nombre des facteurs premiers dans ) du produit . La conjecture énonce que, pour tout , il existe pour lequel l’inégalité : avec max) est toujours vérifiée. Le théorème de Mason établit l’inégalité, (supposé > ) désignant le plus grand des degrés des polynômes . Les cas de triplets de polynômes où l’égalité est vérifiée sont reliés à de nombreux problèmes de théorie des nombres ; les triplets d’entiers qu’ils engendrent conduisent, modulo la conjecture , à des minorations de où est un polynôme homogène et des entiers premiers entre eux ; dans ces constructions de polynômes et d’entiers, le théorème de Mason et son environnement jouent un rôle-clef.
@article{JTNB_1999__11_1_91_0, author = {Langevin, Michel}, title = {Imbrications entre le th\'eor\`eme de {Mason,} la descente de {Belyi} et les diff\'erentes formes de la conjecture $(abc)$}, journal = {Journal de th\'eorie des nombres de Bordeaux}, pages = {91--109}, publisher = {Universit\'e Bordeaux I}, volume = {11}, number = {1}, year = {1999}, mrnumber = {1730434}, zbl = {0983.11015}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/item/JTNB_1999__11_1_91_0/} }
TY - JOUR AU - Langevin, Michel TI - Imbrications entre le théorème de Mason, la descente de Belyi et les différentes formes de la conjecture $(abc)$ JO - Journal de théorie des nombres de Bordeaux PY - 1999 SP - 91 EP - 109 VL - 11 IS - 1 PB - Université Bordeaux I UR - http://www.numdam.org/item/JTNB_1999__11_1_91_0/ LA - fr ID - JTNB_1999__11_1_91_0 ER -
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Langevin, Michel. Imbrications entre le théorème de Mason, la descente de Belyi et les différentes formes de la conjecture $(abc)$. Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Volume 11 (1999) no. 1, pp. 91-109. http://www.numdam.org/item/JTNB_1999__11_1_91_0/
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