If is a smooth scheme over a perfect field of characteristic , and if is the sheaf of differential operators on [7], it is well known that giving an action of on an -module is equivalent to giving an infinite sequence of -modules descending via the iterates of the Frobenius endomorphism of [5]. We show that this result can be generalized to any infinitesimal deformation of a smooth morphism in characteristic , endowed with Frobenius liftings. We also show that it extends to adic formal schemes such that belongs to an ideal of definition. In [12], dos Santos used this result to lift -modules from characteristic to characteristic with control of the differential Galois group.
Si est un schéma lisse sur un corps parfait de caractéristique , et si est le faisceau des opérateurs différentiels sur [7], on sait que donner une action de sur un -module équivaut à donner une suite infinie de -modules descendant par les itérés de l’endomorphisme de Frobenius de [5]. Nous montrons que ce résultat peut être généralisé au cas d’un morphism lisse qui est une déformation infinitésimale d’un morphisme de caractéristique , munie de relèvements des morphismes de Frobenius. Nous montrons aussi qu’il s’étend aux schémas formels adiques tels que appartienne à un idéal de définition. Ce résultat a été utilisé par dos Santos [12] pour relever les -modules de la caractéristique à la caractéristique en contrôlant le groupe de Galois différentiel du relèvement.
Keywords: $D$-modules, Frobenius morphism, descent theory, deformation theory
Mot clés : $D$-modules, morphismes de Frobenius, théorie de la descente, théorie des déformations
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Berthelot, Pierre. A note on Frobenius divided modules in mixed characteristics. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 140 (2012) no. 3, pp. 441-458. doi : 10.24033/bsmf.2632. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2632/
[1] « -modules arithmétiques. I. Opérateurs différentiels de niveau fini », Ann. Sci. École Norm. Sup. 29 (1996), p. 185-272. | Numdam | MR | Zbl
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[3] -, « Introduction à la théorie arithmétique des -modules », Astérisque 279 (2002), p. 1-80. | Numdam | Zbl
[4] Notes on crystalline cohomology, Princeton Univ. Press, 1978. | MR | Zbl
& -[5] « Flat vector bundles and the fundamental group in non-zero characteristics », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 2 (1975), p. 1-31. | Numdam | MR | Zbl
-[6] « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas. III », Publ. Math. I.H.É.S. 28 (1966). | Numdam | Zbl
-[7] -, « Éléments de géométrie algébrique. IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas IV », Publ. Math. I.H.É.S. 32 (1967). | Numdam | Zbl
[8] -, « Crystals and the de Rham cohomology of schemes », in Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, North-Holland, 1968, p. 306-358. | MR | Zbl
[9] « Les suites spectrales associées au complexe de de Rham-Witt », Publ. Math. I.H.É.S. 57 (1983), p. 73-212. | Numdam | MR | Zbl
& -[10] « Nilpotent connections and the monodromy theorem: Applications of a result of Turrittin », Publ. Math. I.H.É.S. 39 (1970), p. 175-232. | Numdam | MR | Zbl
-[11] « Integral -adic differential modules », in Groupes de Galois arithmétiques et différentiels, Sémin. Congr., vol. 13, Soc. Math. France, 2006, p. 263-292. | MR | Zbl
-[12] Lifting -modules from positive to zero characteristic", preprint | Numdam | Zbl
- "Cited by Sources: