Constantes de Sobolev des arbres

Bourdon, Marc

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 1, pp. 93-103

Étant donnés $p\in [1,+\infty [$ et un arbre $T$ dont chaque sommet est de valence au moins $3$, on étudie la constante de Sobolev d’exposant $p$ de $T$, c’est-à-dire la plus petite constante ${\sigma }_p$ telle que pour tout $u\in {\ell }_p\left(T^0\right)$ on ait ${\parallel u\parallel }_p^p\le {\sigma }_p{\parallel \mathrm{d}u\parallel }_p^p$. Notre motivation vient de la recherche de graphes finis avec des petites constantes de Poincaré d’exposant $p$, en vue d’obtenir des exemples de groupes qui ont la propriété de point fixe sur les espaces $L^p$.

For $p\in [1,+\infty [$ and for any tree $T$ of valency at least $3$, we study the Sobolev constant of exponent $p$ of $T$, that is the smallest constant ${\sigma }_p$ such that for every $u\in {\ell }_p\left(T\right)$, one has ${\parallel u\parallel }_p^p\le {\sigma }_p{\parallel \mathrm{d}u\parallel }_p^p$. Our motivation comes from the search of finite graphs with small Poincaré constants of exponent $p$, in order to construct examples of groups which admit the fixed point property on $L^p$-spaces.

Classification : 58E35, 31C45
Mots-clés : constantes de Sobolev, constantes de poincaré, arbres, graphes
Keywords: Sobolev constants, poincaré constants, trees, graphs

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