Pointed $k$-surfaces
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 4, p. 509-557

Let $S$ be a Riemann surface. Let ${ℍ}^{3}$ be the $3$-dimensional hyperbolic space and let ${\partial }_{\infty }{ℍ}^{3}$ be its ideal boundary. In our context, a Plateau problem is a locally holomorphic mapping $\varphi :S\to {\partial }_{\infty }{ℍ}^{3}=\stackrel{^}{ℂ}$. If $i:S\to {ℍ}^{3}$ is a convex immersion, and if $N$ is its exterior normal vector field, we define the Gauss lifting, $\stackrel{^}{ı}$, of $i$ by $\stackrel{^}{ı}=N$. Let $\stackrel{\to }{n}:U{ℍ}^{3}\to {\partial }_{\infty }{ℍ}^{3}$ be the Gauss-Minkowski mapping. A solution to the Plateau problem $\left(S,\varphi \right)$ is a convex immersion $i$ of constant Gaussian curvature equal to $k\in \left(0,1\right)$ such that the Gauss lifting $\left(S,\stackrel{^}{ı}\right)$ is complete and $\stackrel{\to }{n}\circ \stackrel{^}{ı}=\varphi$. In this paper, we show that, if $S$ is a compact Riemann surface, if $𝒫$ is a discrete subset of $S$ and if $\varphi :S\to \stackrel{^}{ℂ}$ is a ramified covering, then, for all ${p}_{0}\in 𝒫$, the solution $\left(S\setminus 𝒫,i\right)$ to the Plateau problem $\left(S\setminus 𝒫,\varphi \right)$ converges asymptotically as one tends to ${p}_{0}$ to a cylinder wrapping a finite number, $k$, of times about a geodesic terminating at $\varphi \left({p}_{0}\right)$. Moreover, $k$ is equal to the order of ramification of $\varphi$ at ${p}_{0}$. We also obtain a converse of this result, thus completely describing complete, constant Gaussian curvature, immersed hypersurfaces in ${ℍ}^{3}$ with cylindrical ends.

Soit $S$ une surface de Riemann. Soit ${ℍ}^{3}$ l’espace hyperbolique de dimension $3$ et soit ${\partial }_{\infty }{ℍ}^{3}$ son bord à l’infini. Dans le cadre de cet article, un problème de Plateau est une application localement holomorphe $\varphi :S\to {\partial }_{\infty }{ℍ}^{3}=\stackrel{^}{ℂ}$. Si $i:S\to {ℍ}^{3}$ est une immersion convexe, et si $N$ est son champ de vecteurs normal, on définit $\stackrel{^}{ı}$, la relevée de Gauss de $i$, par $\stackrel{^}{ı}=N$. Soit $\stackrel{\to }{n}:U{ℍ}^{3}\to {\partial }_{\infty }{ℍ}^{3}$ l’application de Gauss-Minkowski. Une solution au problème de Plateau $\left(S,\varphi \right)$ est une immersion convexe $i$ à courbure gaussienne constante égale à $k\in \right]0,1\left[$ telle que sa relevée de Gauss $\left(S,\stackrel{^}{ı}\right)$ soit complète en tant que sous-variété immergée et que $\stackrel{\to }{n}\circ \stackrel{^}{ı}=\varphi$. Dans cet article, on montre que, si $S$ est une surface de Riemannn compacte, si $𝒫$ est un sous-ensemble discret de $S$ et si $\varphi :S\to \stackrel{^}{ℂ}$ est un revêtement ramifié, alors, pour tout ${p}_{0}\in 𝒫$, la solution $\left(S\setminus 𝒫,i\right)$ au problème de Plateau $\left(S\setminus 𝒫,\varphi \right)$ converge asymptotiquement vers un cylindre qui s’enroule un nombre fini $k$ de fois autour d’une géodésique ayant $\varphi \left({p}_{0}\right)$ pour une de ses extrémités lorsqu’on s’approche de ${p}_{0}$. De plus, $k$ est égale à l’ordre de ramification de $\varphi$ en ${p}_{0}$. On obtient également une réciproque de ce résultat nous permettant de décrire entièrement les surfaces complètes immergées dans ${ℍ}^{3}$ à courbure gaussienne constante et aux bouts cylindriques.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2521
Classification:  53C42,  30F60,  32Q65,  51M10,  53C45,  53D10,  58D10
Keywords: immersed hypersurfaces, pseudo-holomorphic curves, contact geometry, plateau problem, gaussian curvature, hyperbolic space, moduli spaces, teichmüller theory
@article{BSMF_2006__134_4_509_0,
author = {Smith, Graham},
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journal = {Bulletin de la Soci\'et\'e Math\'ematique de France},
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Smith, Graham. Pointed $k$-surfaces. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 4, pp. 509-557. doi : 10.24033/bsmf.2521. http://www.numdam.org/item/BSMF_2006__134_4_509_0/

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