Irregularity of an analogue of the Gauss-Manin systems
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 134 (2006) no. 2, pp. 269-286.

In 𝒟-modules theory, Gauss-Manin systems are defined by the direct image of the structure sheaf 𝒪 by a morphism. A major theorem says that these systems have only regular singularities. This paper examines the irregularity of an analogue of the Gauss-Manin systems. It consists in the direct image complex f + (𝒪e g ) of a 𝒟-module twisted by the exponential of a polynomial g by another polynomial f, where f and g are two polynomials in two variables. The analogue of the Gauss-Manin systems can have irregular singularities (at finite distance and at infinity). We express an invariant associated with the irregularity of these systems at c 1 by the geometry of the map (f,g).

Dans la théorie des 𝒟-modules, on définit les systèmes de Gauss-Manin par l’image directe par un morphisme du faisceau structural 𝒪. Un résultat essentiel est leur régularité. On s’intéresse à l’irrégularité d’un analogue des systèmes de Gauss-Manin. Il s’agit de l’image directe f + (𝒪e g ) par un polyôme f d’un 𝒟-module tordu par une exponentielle d’un second polynôme g, où f et g sont des polynômes à deux variables. Les analogues des systèmes de Gauss-Manin peuvent avoir des singularités irrégulières. On exprimera alors un invariant attaché à l’irrégularité en c 1 de ces systèmes à l’aide de la géométrie de l’application (f,g).

DOI: 10.24033/bsmf.2510
Classification: 32S40, 32C38
Keywords: Gauss-Manin connection, irregularity complex, direct image, elementary $\mathcal {D}$-modules
Mot clés : connexion de Gauss-Manin, complexe d’irrégularité, image directe, $\mathcal {D}$-modules élémentaires
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