For the real quadratic map and a given a point has good expansion properties if any interval containing also contains a neighborhood of with univalent, with bounded distortion and for some . The -weakly expanding set is the set of points which do not have good expansion properties. Let denote the negative fixed point and the first return time of the critical orbit to . We show there is a set of parameters with positive Lebesgue measure for which the Hausdorff dimension of the -weakly expanding set is bounded above and below by for close to . For arbitrary the dimension is of the order of Constants depend only on . The Folklore Theorem then implies the existence of an absolutely continuous invariant probability measure for with (Jakobson’s Theorem).
Pour l’application quadratique réelle et un donné, un point a de bonnes propriétés de dilatation si tout intervale contenant contient également un voisinage de avec univalent, avec distortion bornée et pour un . L’ensemble -faiblement dilatant est l’ensemble des points qui n’ont pas de bonnes propriétes de dilatation. Notons le point fixe négatif et le temps de premier retour de l’orbite critique dans . Nous prouvons l’existence d’un ensemble de paramètres de mesure de Lebesgue positive pour lesquels la dimension de Hausdorff de l’ensemble -faiblement dilatant est bornée supérieurement et inférieurement par si est proche de . Pour quelconque la dimension est de l’ordre de Les constantes ne dependent que de . Le théorème du Folklore implique alors l’existence d’une mesure de probabilité absolument continue et invariante par pour (théorème de Jakobson).
Keywords: quadratic map, Jakobson's theorem, Hausdorff dimension, Markov partition, Bernoulli map, induced expansion, absolutely continuous invariant probability measure
Mot clés : application quadratique, théorème de Jakobson, dimension de Hausdorff, partition de Markov, application de Bernoulli, expansion induite, mesure de probabilité invariante absolument continue
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TY - JOUR AU - Senti, Samuel TI - Dimension of weakly expanding points for quadratic maps JO - Bulletin de la Société Mathématique de France PY - 2003 SP - 399 EP - 420 VL - 131 IS - 3 PB - Société mathématique de France UR - http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2448/ DO - 10.24033/bsmf.2448 LA - en ID - BSMF_2003__131_3_399_0 ER -
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Senti, Samuel. Dimension of weakly expanding points for quadratic maps. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 131 (2003) no. 3, pp. 399-420. doi : 10.24033/bsmf.2448. http://www.numdam.org/articles/10.24033/bsmf.2448/
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