Danila, Gentiana
Résultats sur la conjecture de dualité étrange sur le plan projectif
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 1 , p. 1-33
Zbl 1038.14004 | MR 1906190
doi : 10.24033/bsmf.2410
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=BSMF_2002__130_1_1_0

Classification:  14D20,  14F05,  14J60
Mots clés: espaces de modules, fibré déterminant, dualité étrange, séries génératrices
La conjecture de « dualité étrange » de Le Potier donne un isomorphisme entre l’espace des sections du fibré déterminant sur deux espaces de modules différents de faisceaux semi-stables sur le plan projectif 2 . On considère deux classes orthogonales c,u dans l’algèbre de Grothendieck K( 2 ) telles que c est de rang strictement positif et u est de rang zéro, et on note M c et M u les espaces de modules de faisceaux semi-stables de classe c, respectivement u sur 2 . Il existe sur M c (resp. M u ) un fibré déterminant inversible 𝒟 u (resp. 𝒟 c ) et le produit tensoriel externe 𝒟 c 𝒟 c sur l’espace produit M c M c a une section canonique σ c,u qui fournit une application linéaire 𝒟 c,u :H 0 (M u ,𝒟 c ) * H 0 (M c ,𝒟 u ). Si M c n’est pas vide, la conjecture affirme que 𝒟 c,u est un isomorphisme. Nous prouvons la conjecture dans le cas particulier où c est de rang 2, première classe de Chern nulle et deuxième classe de Chern c 2 (c)=n5, et u est de degré d(u)3 et caractéristique d’Euler-Poincaré nulle. Nous donnons la série génératrice P(t)= k0 t k h 0 (M c ,𝒟 u k ) pour c 2 (c)=3, c 2 (c)=4, d(u)=1, pour les classes c et u considérées ci-dessus.
Le Potier’s ‘Strange Duality’ conjecture gives an isomorphism between the space of sections of the determinant bundle on two different moduli spaces of semi-stable sheaves on the complex projective plane 2 . We consider two orthogonal classes c,u in the Grothendieck algebra K( 2 ) such that c is of positive rank and u of rank zero, and we call M c and M u the moduli spaces of semi-stable sheaves of class c, respectively u on 2 . There exists on M c (resp. M u ) a determinant bundle 𝒟 u (resp. 𝒟 c ) and the product fibre bundle 𝒟 c 𝒟 c on the product space M c M c has a canonical section σ c,u which provides a linear application 𝒟 c,u :H 0 (M u ,𝒟 c ) * H 0 (M c ,𝒟 u ). If M c is not empty, 𝒟 c,u is conjectured to be an isomorphism. We prove the conjecture in the particular case where c is of rank 2, zero first Chern class and second Chern class c 2 (c)5, and u is of degree d(u)3 and zero Euler-Poincaré characteristic. In addition we give the generating series P(t)= k0 t k h 0 (M c ,𝒟 u k ) for c 2 (c)=3, c 2 (c)=4, d(u)=1, for the particular classes c and u considered above.

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