Singularities of 2Θ-divisors in the jacobian
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 129 (2001) no. 3, p. 449-485

We consider the linear system |2Θ 0 | of second order theta functions over the Jacobian JC of a non-hyperelliptic curve C. A result by J.Fay says that a divisor D|2Θ 0 | contains the origin 𝒪JC with multiplicity 4 if and only if D contains the surface C-C={𝒪(p-q)p,qC}JC. In this paper we generalize Fay’s result and some previous work by R.C.Gunning. More precisely, we describe the relationship between divisors containing 𝒪 with multiplicity 6, divisors containing the fourfold C 2 -C 2 ={𝒪(p+q-r-s)p,q,r,sC}, and divisors singular along C-C, using the third exterior product of the canonical space and the space of quadrics containing the canonical curve. Moreover we show that some of these spaces are equal to the linear span of Brill-Noether loci in the moduli space of semi-stable rank 2 vector bundles with canonical determinant over C, which can be embedded in |2Θ 0 |.

On considère le système linéaire |2Θ 0 | des fonctions thêta d’ordre deux sur la jacobienne JC d’une courbe non-hyperelliptique C. Un résultat de J.Fay affirme qu’un diviseur D|2Θ 0 | contient l’origine 𝒪JC avec multiplicié 4 si et seulement si D contient la surface C-C={𝒪(p-q)p,qC}JC. Dans cet article on généralise le résultat de Fay ainsi que quelques travaux de R.C.Gunning. On décrit la relation entre les diviseurs contenant 𝒪 avec multiplicité 6, les diviseurs contenant la sous-variété C 2 -C 2 ={𝒪(p+q-r-s)p,q,r,sC}, et les diviseurs singuliers le long de C-C, en utilisant la troisième puissance extérieure de l’espace canonique et l’espace des quadriques contenant la courbe canonique. De plus on montre que certains sous-systèmes linéaires sont isomorphes aux enveloppes linéaires de lieux de Brill-Noether dans l’espace de modules des fibrés vectoriels semi-stables de rang 2 et de déterminant canonique, qui sont plongés dans |2Θ 0 |.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2404
Classification:  14H42,  14H40,  14H60
Keywords: theta functions, jacobian, canonical curve, vector bundle
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Pauly, Christian; Previato, Emma. Singularities of $2\Theta $-divisors in the jacobian. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 129 (2001) no. 3, pp. 449-485. doi : 10.24033/bsmf.2404. http://www.numdam.org/item/BSMF_2001__129_3_449_0/

[1] E. Arbarello, M. Cornalba, P. A. Griffiths & J. Harris - Geometry of algebraic curves, vol. 1, Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo, 1985. | MR 770932 | Zbl 0559.14017

[2] E. Arbarello & J. Harris - « Canonical curves and quadrics of rank 4 », Comp. Math. 43 (1981), p. 145-179. | Numdam | MR 622446 | Zbl 0494.14011

[3] A. Beauville - « Fibrés de rang 2 sur une courbe, fibré déterminant et fonctions thêta », Bull. Soc. Math. France 116 (1988), p. 431-448. | Numdam | MR 1005388 | Zbl 0691.14016

[4] -, « Fibrés de rang 2 sur une courbe, fibré déterminant et fonctions thêta, II », Bull. Soc. Math. France 119 (1991), p. 259-291. | Numdam | MR 1125667 | Zbl 0756.14017

[5] A. Bertram - « Moduli of rank 2 vector bundles, theta divisor and the geometry of curves in projective space », J. Diff. Geom. 35 (1992), p. 429-469. | MR 1158344 | Zbl 0787.14014

[6] S. Brivio & A. Verra - « The theta divisor of 𝒮U C (2,2d) is very ample if C is not hyperelliptic », Duke Math. J. 82 (1996), p. 503-552. | MR 1387683 | Zbl 0876.14024

[7] J. Fay - Theta Functions on Riemann Surfaces, Lecture Notes in Math., vol. 352, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973. | MR 335789 | Zbl 0281.30013

[8] B. Van Geemen & G. Van Der Geer - « Kummer varieties and the moduli spaces of abelian varieties », Am. J. Math. 08 (1986), p. 615-642. | MR 844633 | Zbl 0612.14044

[9] B. Van Geemen & E. Izadi - « The tangent space to the moduli space of vector bundles on a curve and the singular locus of the theta divisor of the Jacobian », J. Alg. Geom. 10 (2001), p. 133-177. | MR 1795553 | Zbl 0989.14010

[10] M. Green - « Quadrics of rank four in the ideal of the canonical curve », Invent. Math. 75 (1984), p. 85-104. | MR 728141 | Zbl 0542.14018

[11] R. Gunning - « Some identities for Abelian integrals, II », unpublished preprint. | MR 821313 | Zbl 0597.14037

[12] -, « Riemann surfaces and their associated Wirtinger varieties », Bull. Am. Math. Soc. 11 (1984), p. 287-316. | MR 752789 | Zbl 0552.14009

[13] -, « Some identities for Abelian integrals », Am. J. Math. 180 (1986), p. 39-74. | MR 821313 | Zbl 0597.14037

[14] E. Izadi - « Fonctions thêta du second ordre sur la jacobienne d'une courbe lisse », Math. Ann. 289 (1991), p. 189-202. | MR 1092172 | Zbl 0735.14029

[15] -, « The geometric structure of 𝒜 4 , the structure of the Prym map, double solids and Γ 00 -divisors », J. reine angew. Math. 462 (1995), p. 93-158. | MR 1329904 | Zbl 0819.14017

[16] H. Lange & M. Narasimhan - « Maximal subbundles of rank two vector bundles on curves », Math. Ann. 266 (1983), p. 55-72. | MR 722927 | Zbl 0507.14005

[17] Y. Laszlo - « Un théorème de Riemann pour les diviseurs thêta sur les espaces de modules de fibrés stables », Duke Math. J. 64 (1991), p. 333-347. | MR 1136379 | Zbl 0753.14023

[18] S. Mukai - « Vector bundles and Brill-Noether theory », Current topics in complex algebraic geometry (Berkeley, CA, 1992/93), Math. Sci. Res. Inst. Publ., vol. 28, p. 145-158. | MR 1397062 | Zbl 0866.14024

[19] -, « Curves and Grassmannians », Algebraic Geometry and Related Topics (J.-H. Yang, Y. Namikawa & K. Ueno, éds.), 1992.

[20] -, « Curves and symmetric spaces, I », Amer. J. Math. 117 (1995), p. 1627-1644. | MR 1363081 | Zbl 0871.14025

[21] D. Mumford - « Prym varieties I », Contributions to Analysis (L. Ahlfors, I. Kra, B. Maskit & L. Niremberg, éds.), Academic Press, 1974, p. 325-350. | MR 379510 | Zbl 0299.14018

[22] W. Oxbury, C. Pauly & E. Previato - « Subvarieties of 𝒮U C (2) and 2θ-divisors in the Jacobian », Trans. Amer. Math. Soc. 350 (1998), p. 3587-3614. | MR 1467474 | Zbl 0898.14014

[23] K. Petri - « Über die Invariante Darstellung Algebraischer Funktionen einer Veranderlichen », Math. Ann. 88 (1922), p. 242-289. | JFM 49.0264.02 | MR 1512130

[24] R. Smith & R. Varley - « Deformations of theta divisors and the rank 4 quadrics problem », Comp. Math. 76 (1990), p. 367-398. | Numdam | MR 1080008 | Zbl 0745.14012

[25] J. Wahl - « On cohomology of the square of an ideal sheaf », J. Alg. Geom. 6 (1997), p. 481-511. | MR 1487224 | Zbl 0892.14022

[26] G. Welters - « The surface C-C on Jacobi varieties and second order theta functions », Acta. Math. 157 (1986), p. 1-22. | MR 857677 | Zbl 0771.14012