Profile decomposition for solutions of the Navier-Stokes equations
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 129 (2001) no. 2, p. 285-316

We consider sequences of solutions of the Navier-Stokes equations in  3 , associated with sequences of initial data bounded in H ˙ 1/2 . We prove, in the spirit of the work of H.Bahouri and P.Gérard (in the case of the wave equation), that they can be decomposed into a sum of orthogonal profiles, bounded in H ˙ 1/2 , up to a remainder term small in L 3 ; the method is based on the proof of a similar result for the heat equation, followed by a perturbation-type argument. If 𝒜 is an “admissible” space (in particular L 3 , B ˙ p, -1+3/p for p<+ or BMO), and if  NS 𝒜 is the largest ball in 𝒜 centered at zero such that the elements of H ˙ 1/2 NS 𝒜 generate global solutions, then we obtain as a corollary an a priori estimate for those solutions. We also prove that the mapping from data in H ˙ 1/2 NS 𝒜 to the associate solution is Lipschitz.

On considère des suites de solutions des équations de Navier-Stokes dans  3 , associées à des suites de données initiales bornées dans H ˙ 1/2 . On montre, dans l’esprit du travail de H.Bahouri et P.Gérard (dans le cas de l’équation des ondes), qu’elles peuvent être décomposées en une somme de profils orthogonaux, bornés dans H ˙ 1/2 , à un terme de reste près, petit dans L 3  ; la méthode s’appuie sur la démonstration d’un résultat analogue pour l’équation de la chaleur, suivi d’un argument de perturbation. Si 𝒜 est un espace « admissible » (en particulier L 3 , B ˙ p, -1+3/p pour p<+ ou BMO), et si  NS 𝒜 est la plus grande boule de de 𝒜 centrée en zéro, telle que les éléments de H ˙ 1/2 NS 𝒜 génèrent des solutions globales, alors on obtient en corollaire une estimation a priori pour ces solutions. On montre aussi que l’application associant une donnée dans H ˙ 1/2 NS 𝒜 à sa solution est lipschitzienne.

DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2398
Classification:  35B45,  35Q30,  76D05
Keywords: Navier-Stokes, explosion, profiles, a priori estimate, admissible space
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Gallagher, Isabelle. Profile decomposition for solutions of the Navier-Stokes equations. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 129 (2001) no. 2, pp. 285-316. doi : 10.24033/bsmf.2398. http://www.numdam.org/item/BSMF_2001__129_2_285_0/

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