On $1$-cocycles induced by a positive definite function on a locally compact abelian group

Soit $\varphi$ une fonction de type positif normalisée sur un groupe localement compact abélien $G$, et ${\pi }_{\varphi }$ la représentation unitaire de $G$ obtenue par construction GNS. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour l’annulation de la 1-cohomologie $H^1(G,{\pi }_{\varphi })$ et de la 1-cohomologie réduite ${\overline{H}}^1(G,{\pi }_{\varphi })$. Par exemple, ${\overline{H}}^1(G,{\pi }_{\varphi })=0$ si et seulement si ou bien $\text{Hom}(G,ℂ)=0$ ou bien ${\mu }_{\varphi }\left(1_G\right)=0$, où $1_G$ est le caractère trivial de $G$ et ${\mu }_{\varphi }$ est la mesure de probabilité sur le dual de Pontryagin $\widehat{G}$ associée à $\varphi$ par le théorème de Bochner. Cela simplifie un argument de Guichardet (Théorème 4 de [7]).

For $\varphi$ a normalized positive definite function on a locally compact abelian group $G$, let ${\pi }_{\varphi }$ be the unitary representation associated to $\varphi$ by the GNS construction. We give necessary and sufficient conditions for the vanishing of 1-cohomology $H^1(G,{\pi }_{\varphi })$ and reduced 1-cohomology ${\overline{H}}^1(G,{\pi }_{\varphi })$. For example, ${\overline{H}}^1(G,{\pi }_{\varphi })=0$ if and only if either $\text{Hom}(G,ℂ)=0$ or ${\mu }_{\varphi }\left(1_G\right)=0$, where $1_G$ is the trivial character of $G$ and ${\mu }_{\varphi }$ is the probability measure on the Pontryagin dual $\widehat{G}$ associated to $\varphi$ by Bochner’s Theorem. This streamlines an argument of Guichardet (see Theorem 4 in [7]).