Equations of some wonderful compactifications
[Équations de certaines compactifications magnifiques]
Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 5, pp. 2121-2138.

De Concini et Procesi ont défini la compactification magnifique minimale d’un espace symétrique X=G/HG est un groupe complexe semi-simple adjoint et H le sous-groupe des points fixes par une involution σ. C’est une sous-variété fermée d’une Grassmannienne des sous-espaces vectoriels de l’algèbre de Lie de G. Dans cet article, nous démontrons que, lorsque le rang de X est égal au rang de G, la variété est définie par des équations linéaires. Ces équations traduisent l’annulation de l’espace propre de σ de valeur propre -1 par la forme trilinéaire alternée invariante sur l’algèbre de Lie de G. L’article finit par des exemples lorsque le rang de G est deux.

De Concini and Procesi have defined the wonderful compactification X ¯ of a symmetric space X=G/G σ where G is a complex semisimple adjoint group and G σ the subgroup of fixed points of G by an involution σ. It is a closed subvariety of a Grassmannian of the Lie algebra 𝔤 of G. In this paper we prove that, when the rank of X is equal to the rank of G, the variety is defined by linear equations. The set of equations expresses the fact that the invariant alternate trilinear form w on 𝔤 vanishes on the (-1)-eigenspace of σ.

DOI : 10.5802/aif.2668
Classification : 14L30, 20G05
Keywords: Wonderful compactification, symmetric space, Lie algebra, adjoint group, scheme
Mot clés : compactification magnifique, espace symétrique, algèbre de Lie, groupe adjoint, schéma
Hivert, Pascal 1

1 Université de Versailles–Saint-Quentin en Yvelines Département de Mathématiques Bâtiment Fermat 45, avenue des État-Unis 78035 VERSAILLES cedex (France)
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Hivert, Pascal. Equations of some wonderful compactifications. Annales de l'Institut Fourier, Tome 61 (2011) no. 5, pp. 2121-2138. doi : 10.5802/aif.2668. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.2668/

[1] Bourbaki, Nicolas Groupes et algèbres de Lie. Chapitres 7–8, Eléments de Mathématiques, Masson, Paris, 1990 | Zbl

[2] De Concini, C.; Procesi, C. Complete symmetric varieties, Invariant theory (Montecatini, 1982) (Lecture Notes in Math.), Volume 996, Springer, Berlin, 1983, pp. 1-44 | Zbl

[3] Draisma, Jan; Kraft, Hanspeter; Kuttler, Jochen Nilpotent subspaces of maximal dimension in semi-simple Lie algebras, Compos. Math., Volume 142 (2006) no. 2, pp. 464-476 | DOI | MR | Zbl

[4] Fulton, William; Harris, Joe Representation theory, Graduate Texts in Mathematics, 129, Springer-Verlag, New York, 1991 (A first course, Readings in Mathematics) | MR | Zbl

[5] Garfinkle, D. A new construction of the Joseph ideal, M.I.T. Cambridge (1982) (Ph. D. Thesis)

[6] Thaddeus, Michael Complete collineations revisited, Math. Ann., Volume 315 (1999) no. 3, pp. 469-495 | DOI | MR | Zbl

[7] van Leeuwen, M. A. A.; Cohen, A. M.; Lisser, B. LiE, A Package for Lie Group Computations (1992) (http://www-math.univ-poitiers.fr/~maavl/LiE/)

[8] Vinberg, È. B.; Gorbatsevich, V. V.; Onishchik, A. L. Structure of Lie groups and Lie algebras, Current problems in mathematics. Fundamental directions, Vol. 41 (Russian) (Itogi Nauki i Tekhniki), Akad. Nauk SSSR Vsesoyuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Inform., Moscow, 1990, pp. 5-259 | MR | Zbl

[9] Weyman, Jerzy Cohomology of vector bundles and syzygies, Cambridge Tracts in Mathematics, 149, Cambridge University Press, Cambridge, 2003 | MR | Zbl

Cité par Sources :