On Halphen’s Theorem and some generalizations

Lins Neto, Alcides

doi:10.5802/aif.2231

Lins Neto, Alcides

Annales de l'Institut Fourier, Volume 56 (2006) no. 6, p. 1947-1982

Abstract
Résumé

Let $M^{n}$ be a germ at $0 \in ℂ^{m}$ of an irreducible analytic set of dimension $n$ , where $n \geq 2$ and $0$ is a singular point of $M$ . We study the question: when does there exist a germ of holomorphic map $φ : (ℂ^{n}, 0) \to (M, 0)$ such that $φ^{- 1} (0) = {0}$ ? We prove essentialy three results. In Theorem 1 we consider the case where $M$ is a quasi-homogeneous complete intersection of $k$ polynomials $F = (F_{1}, ..., F_{k})$ , that is there exists a linear holomorphic vector field $X$ on $ℂ^{m}$ , with eigenvalues $λ_{1}, ..., λ_{m} \in ℚ_{+}$ such that $X (F^{T}) = U \cdot F^{T}$ , where $U$ is a $k \times k$ matrix with entries in $𝒪_{m}$ . We prove that if there exists a germ of holomorphic map $φ$ as above and ${dim}_{ℂ} (sing (M)) \leq n - 2$ , then $λ_{1} + \dots + λ_{m} > Re (tr (U) (0))$ . In Theorem 2 we answer the question completely when $n = 2$ , $k = 1$ and $0$ is an isolated singularity of $M$ . In Theorem 3 we prove that, if there exists a map as above, $k = 1$ and ${dim}_{ℂ} (sing (M)) \leq n - 2$ , then ${dim}_{ℂ} (sing (M)) = n - 2$ . We observe that Theorems 1 and 2 are generalizations of some results due to Halphen.

Soit $M^{n}$ un germe en $0 \in ℂ^{m}$ d’ensemble analytique irréductible de dimension $n$ , où $n \geq 2$ et $0$ est un point singulier de $M$ . Nous étudions le problème suivant : quand est-ce qu’il existe un germe d’application holomorphe $φ : (ℂ^{m}, 0) \to (M, 0)$ telle que $φ^{- 1} (0) = {0}$ ? Nous démontrons essentiellement trois résultats. Dans le théorème 1 nous considérons le cas où $M$ est une intersection complète quasi-homogène de $k$ polynômes $F = (F_{1}, ..., F_{k})$ , c’est-à-dire il existe un champ de vecteurs linéaire holomorphe $X$ dans $ℂ^{m}$ , avec valeurs propres $λ_{1}, ..., λ_{m} \in ℚ_{+}$ telles que $X (F^{T}) = U \cdot F^{T}$ , où $U$ est une matrice $k \times k$ d’éléments dans $𝒪_{m}$ . Nous démontrons que s’il existe un germe d’application $φ$ comme précédemment et ${dim}_{ℂ} (sing (M)) \leq n - 2$ alors $λ_{1} + \dots + λ_{m} > Re (tr (U)) (0)$ . Dans le théorème 2 nous répondons complètement à la question quand $n = 2$ , $k = 1$ et $0$ est une singularité isolée de $M$ . Dans le théorème 3 nous démontrons que, s’il existe une application $φ$ comme précédemment, $k = 1$ et ${dim}_{ℂ} (sing (M)) \leq n - 2$ , alors ${dim}_{ℂ} (sing (M)) = n - 2$ . Remarquons que les théorèmes 1 et 2 sont des généralisations de quelques résultats de Halphen.

MR 2282679 | Zbl 1112.32011

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2231
Classification: 32S05, 32S25
Keywords: Halphen’s theorem, quasi-homomogeneous, complete intersection

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Lins Neto, Alcides. On Halphen’s Theorem and some generalizations. Annales de l'Institut Fourier, Volume 56 (2006) no. 6, pp. 1947-1982. doi : 10.5802/aif.2231. http://www.numdam.org/item/AIF_2006__56_6_1947_0/

References

[1] A. Lins Neto, M.G. Soares Algebraic solutions of onde-dimensional foliations, J. Diff. Geometry, Tome 43 (1996), pp. 652-673 | MR 1412680 | Zbl 0873.32031

[2] Arnold, V. Chapitres supplémentaires de la théorie des équations différentielles ordinaires, Éditions MIR (1980) | MR 626685 | Zbl 0455.34001

[3] Baldassarri, F.; Dwork, B. On second order linear differencial equations with algebraic solutions, American Journal of Math., Tome 101 (1979) no. 1, pp. 42-76 | Article | MR 527825 | Zbl 0425.34007

[4] Cartan, H. Sur le premier problème de Cousin, C.R. Acad. Sc., Tome 207 (1938), pp. 558-560 | Zbl 0019.31503

[5] Ford, L. R. Automorphic Functions, 2 nd edition ; Chelsea Publ. Co., N.Y. (1951)

[6] Grauert, H.; Remmert, R. Theory of Stein Spaces, Springer Verlag Tome 236 (1979) | MR 580152 | Zbl 0433.32007

[7] Griffiths-Harris Principles of Algebraic Geometry, John-Wiley and Sons (1994) | MR 1288523 | Zbl 0836.14001

[8] Gunning, R. C. Introduction to holomorphic functions of several variables, Wadsworth & Brooks/Cole Publishing Comp (1990)

[9] Halphen, G. Sur la Réduction des Équations Différentielles Linéaires aux Formes Intégrables, Mémoires présentés à l’Académie des Sciences, Tome XXVIII, 2 e série (1884) no. 1, pp. 1

[10] Halphen, G.-H. Œuvres de G.-H. Halphen, tome III, Gauthier-Villars (1921)

[11] Hirzebruch, F. Singularities and exotic spheres, Séminaire Bourbaki, 19e année (1966/1967) no. 314, pp. 20 | Numdam | Zbl 0213.47701

[12] Klein, F. Lectures on the icosahedron and the solution of equations of the fifth degree, Dover (1956) | MR 80930 | Zbl 0072.25901

[13] M. Hirsh, C. Pugh; Shub, M. Invariant Manifolds, Springer-Verlag, Lecture Notes in Math., Tome 583 (1977) | MR 501173 | Zbl 0355.58009

[14] Milnor, J. Singular points of complex hypersurfaces, Princeton Univ. Press and the Univ. of Tokio Press (1968) | MR 239612 | Zbl 0184.48405

[15] Saito, K. Quasihomogene isolierte Singularitäteten von Hyperflächen, Invent. Math., Tome 14 (1971), pp. 123-142 | Article | MR 294699 | Zbl 0224.32011

[16] Schwarz, H. A. Ueber diejenigem Fälle, in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt, Journal f.d. reine und angew. Math., Tome 75 (1890), pp. 292-395