On Halphen’s Theorem and some generalizations
Annales de l'Institut Fourier, Volume 56 (2006) no. 6, pp. 1947-1982.

Let M n be a germ at 0 m of an irreducible analytic set of dimension n, where n2 and 0 is a singular point of M. We study the question: when does there exist a germ of holomorphic map φ:( n ,0)(M,0) such that φ -1 (0)={0} ? We prove essentialy three results. In Theorem 1 we consider the case where M is a quasi-homogeneous complete intersection of k polynomials F=(F 1 ,...,F k ), that is there exists a linear holomorphic vector field X on m , with eigenvalues λ 1 ,...,λ m + such that X(F T )=U·F T , where U is a k×k matrix with entries in 𝒪 m . We prove that if there exists a germ of holomorphic map φ as above and dim ( sing (M))n-2, then λ 1 ++λ m > Re ( tr (U)(0)). In Theorem 2 we answer the question completely when n=2, k=1 and 0 is an isolated singularity of M. In Theorem 3 we prove that, if there exists a map as above, k=1 and dim ( sing (M))n-2, then dim ( sing (M))=n-2. We observe that Theorems 1 and 2 are generalizations of some results due to Halphen.

Soit M n un germe en 0 m d’ensemble analytique irréductible de dimension n, où n2 et 0 est un point singulier de M. Nous étudions le problème suivant  : quand est-ce qu’il existe un germe d’application holomorphe φ:( m ,0)(M,0) telle que φ -1 (0)={0}  ? Nous démontrons essentiellement trois résultats. Dans le théorème 1 nous considérons le cas où M est une intersection complète quasi-homogène de k polynômes F=(F 1 ,...,F k ), c’est-à-dire il existe un champ de vecteurs linéaire holomorphe X dans m , avec valeurs propres λ 1 ,...,λ m + telles que X(F T )=U·F T , où U est une matrice k×k d’éléments dans 𝒪 m . Nous démontrons que s’il existe un germe d’application φ comme précédemment et dim ( sing (M))n-2 alors λ 1 ++λ m > Re ( tr (U))(0). Dans le théorème 2 nous répondons complètement à la question quand n=2, k=1 et 0 est une singularité isolée de M. Dans le théorème 3 nous démontrons que, s’il existe une application φ comme précédemment, k=1 et dim ( sing (M))n-2, alors dim ( sing (M))=n-2. Remarquons que les théorèmes 1 et 2 sont des généralisations de quelques résultats de Halphen.

DOI: 10.5802/aif.2231
Classification: 32S05,  32S25
Keywords: Halphen’s theorem, quasi-homomogeneous, complete intersection
Lins Neto, Alcides 1

1 Instituto de Matemática Pura e Aplicada Estrada Dona Castorina, 110 Horto, Rio de Janeiro (Brasil)
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