Feuilletages singuliers de codimension un, groupoïde de Galois et intégrales premières  [ Singular codimension one foliations, Galois groupoid and first integrals ]
Annales de l'Institut Fourier, Volume 56 (2006) no. 3, p. 735-779

In this article the Galois groupoid of a germ of codimension one holomorphic foliation is investigated. We define a bimeromorphic invariant of this Lie 𝒟-groupoid: the transversal rank. Relations between this invariant, existence of special Godbillon-Vey sequences and existence of first integral in a strongly normal extension of the differential field of germs of meromorphic functions are studied. A theorem of M. Singer on Liouvillian first integral is generalized to a larger class of transcendental functions. For reduced singularities, the transversal rank is characterized by Martinet-Ramis invariants and it gives a galoisian proof of results of Berthier-Touzet.

Dans cet article, nous étudions le groupoïde de Galois d’un germe de feuilletage holomorphe de codimension un. Nous associons à ce 𝒟-groupoïde de Lie un invariant biméromorphe  : le rang transverse. Nous étudions en détails les relations entre cet invariant, l’existence de suites de Godbillon-Vey particulières et l’existence d’une intégrale première dans une extension fortement normale du corps différentiel des germes de fonctions méromorphes. Nous obtenons ainsi une généralisation d’un théorème de M. Singer sur l’existence d’intégrales premières Liouvilliennes à une classe plus large de transcendantes. L’étude des singularités réduites permet de caractériser le rang transverse sur les invariants de Martinet-Ramis et donne une preuve galoisienne des résultats de Berthier-Touzet.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2198
Classification:  12H05,  37F75,  53C10,  34M15
Keywords: Foliation, Galois groupoid, transversal geometric structure
@article{AIF_2006__56_3_735_0,
     author = {Casale, Guy},
     title = {Feuilletages singuliers de codimension un, groupo\"\i de de Galois et int\'egrales premi\`eres},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
     volume = {56},
     number = {3},
     year = {2006},
     pages = {735-779},
     doi = {10.5802/aif.2198},
     mrnumber = {2244228},
     zbl = {1155.32020},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_2006__56_3_735_0}
}
Casale, Guy. Feuilletages singuliers de codimension un, groupoïde de Galois et intégrales premières. Annales de l'Institut Fourier, Volume 56 (2006) no. 3, pp. 735-779. doi : 10.5802/aif.2198. http://www.numdam.org/item/AIF_2006__56_3_735_0/

[1] Berthier, M.; Touzet, F. Sur l’intégration des équations différentielles holomorphes réduites en dimension 2, Boletim da Soc. Bra. Mat., Tome 30 (1999) no. 3, pp. 247-286 | Article | MR 1726913 | Zbl 0969.34074

[2] Buium, A. Differential function fields and moduli of algebraic varieties, Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics, Tome 1226 (1986) | MR 874111 | Zbl 0613.12018

[3] Buium, A. Differential algebra and diophantine geometry, Hermann, Actualités Mathématiques (1994) | MR 1487891 | Zbl 0870.12007

[4] Casale, G. Suites de Godbillon-Vey et intégrales premières, C. R. Acad. Sci. Paris, Tome 335 (2002), pp. 1003-1006 | MR 1955577 | Zbl 1033.12004

[5] Casale, G. 𝒟-enveloppe d’un difféomorphisme de (,0), Proceedings of the conference « Resurgence, Alien Calculus, Resummability, Transseries », Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) Tome 13 (2004) no. 4 | Numdam | Zbl 02190854

[6] Cerveau, D.; Lins Neto, A.; Loray, F.; Pereira, J.-V.; Touzet, F. Algebraic Reduction Theorem for complex codimension one singular foliations (http ://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0406/0406293.pdf) | Zbl 1095.37019

[7] Drach, J. Éssai sur une théorie générale de l’intégration et sur la classification des transcendantes, Ann. Sci. Écoles Normale Sup. (3) (1898), pp. 243-384 | JFM 29.0349.06 | Numdam | MR 1508959

[8] Drach, J. Sur le problème logique de l’intégration des équations différentielles, Ann. Fac. Sci. de l’Université de Toulouse, Tome 10 (1908), pp. 393-472 | Article | JFM 41.0416.03 | Numdam | MR 1508305

[9] Dumitrescu, S. Structures géométriques holomorphes sur les variétés complexes compactes, Ann. Sci. Écoles Normale Sup. 4e série, Tome 34 (2001), pp. 557-571 | Numdam | MR 1852010 | Zbl 1016.32012

[10] Écalle, J. Les fonctions résurgentes, Publication mathématiques d’Orsay Tome 1 et 2 (1981) | Zbl 0602.30029

[11] Eisenbud, D. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Text in Mathematics, Springer-Verlag, Tome 150 (1995) | MR 1322960 | Zbl 0819.13001

[12] Frisch, J. Points de platitude d’un morphisme d’espaces analytiques complexes, Invent. Math., Tome 4 (1967), pp. 118-138 | Article | MR 222336 | Zbl 0167.06803

[13] Godbillon, C. Feuilletage. Études géométriques, Progress in Mathematics, Tome 98 (1991) | MR 1120547 | Zbl 0724.58002

[14] Godbillon, C.; Vey, J. Un invariant des feuilletages de codimension un, C. R. Acad. Sci. Paris, Tome 273 (1971), p. A92-A95 | MR 283816 | Zbl 0215.24604

[15] Gromov, M. Rigid transformation groups, Hermann, Géométrie Différentielle, Tavaux en cours, Tome 33 (1988) | Zbl 0652.53023

[16] Ilyashenko, Y. S. Divergence of series that reduce an analytic differential equation to linear normal form at a singular point, Funktsional. Anal. i Prilozhen., Tome 13 (1979) no. 3, p. 87-88 ((Russian)) | MR 545377 | Zbl 0477.34004

[17] Kolchin, E. R. Differential Algebra and Algebraic Groups, Academic Press, Pure and Applied Mathematics, Tome 54 (1973) | MR 568864 | Zbl 0264.12102

[18] Kovacic, J. J. The differential Galois theory of strongly normal extensions, Trans. Amer. Math. Soc., Tome 355 (2003), pp. 4475-4522 | Article | MR 1990759 | Zbl 1036.12005

[19] Kumpera, A.; Spencer, D. Lie Equations, Princeton University Press, Princeton, N.J. (1972) (Annals of Mathematics Studies, No. 73) | MR 380908 | Zbl 0258.58015

[20] Malgrange, B. Travaux d’Écalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques, Bourbaki Seminar, Vol. 1981/1982, Soc. Math. France, Paris (Astérisque) Tome 92 (1982) | Numdam | MR 689526 | Zbl 0526.58009

[21] Malgrange, B. L’involutivité générique des systèmes différentiels analytiques, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math., Tome 326 (1998) no. 7, pp. 863-866 | Article | MR 1648544 | Zbl 0924.58116

[22] Malgrange, B. Germes de 𝒟-groupoïdes en dimension un (2000) ((notes informelles))

[23] Malgrange, B. Le groupoïde de Galois d’un feuilletage, Essays on geometry and related topics, Vol. 1, 2, Enseignement Math., Geneva (Monogr. Enseign. Math.) Tome 38 (2001), pp. 465-501 | Zbl 1033.32020

[24] Malgrange, B. On nonlinear differential Galois theory, Chinese Ann. Math. Ser. B, Tome 23 (2002) no. 2, pp. 219-226 (Dedicated to the memory of Jacques-Louis Lions) | Article | MR 1924138 | Zbl 1009.12005

[25] Malgrange, B. Systèmes différentiels involutifs, Panoramas et Synthèses, Soc. Math. France, Tome 19 (2005) | MR 2187078 | Zbl 02233304

[26] Martinet, J.; Ramis, J.-P. Problèmes de modules pour les équations différentielles non linéaires du premier ordre, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., Tome 55 (1982), pp. 63-164 | Article | Numdam | MR 672182 | Zbl 0546.58038

[27] Martinet, J.; Ramis, J.-P. Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre., Ann. Sci. École Normale Sup., Tome 16 (1983) no. 4, pp. 571-621 | Numdam | MR 740592 | Zbl 0534.34011

[28] Scàrdua, B. A. Transversely affine and transversely projective holomorphic foliations, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), Tome 30 (1997) no. 2, pp. 169-204 | Numdam | MR 1432053 | Zbl 0889.32031

[29] Seidenberg, A. Reduction of singularities of the differential equation Ady=Bdx, Amer. J. Math., Tome 90 (1968), pp. 248-269 | Article | MR 220710 | Zbl 0159.33303

[30] Singer, M. Liouvillian first integral of differential equations, Trans. A. M. S., Tome 333 (1992) no. 2, pp. 673-688 | Article | MR 1062869 | Zbl 0756.12006

[31] Tougeron, J.-C. Idéaux de fonctions différentiables, Springer-Verlag, Berlin, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Tome 71 (1972) | MR 440598 | Zbl 0251.58001

[32] Touzet, F. Sur les feuilletages holomorphes transversalement projectifs, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, Tome 53 (2003) no. 3, pp. 815-846 | Article | Numdam | MR 2008442 | Zbl 1032.32020

[33] Vessiot, E. Sur une théorie générale de la réductibilité des équations et systèmes d’équations finies ou différentielles, Ann. Sci. École Normale Sup., Tome 63 (1946), pp. 1-22 | Numdam | MR 20696 | Zbl 0061.16703

[34] Vessiot, E. Sur la réductibilité des équations aux dérivées partielles du 1 er ordre, à une inconnue, qui ne la contiennent pas et sont linéaires et homogènes par rapport à ses dérivées, Bull. Soc. Math. France, Tome 75 (1947), pp. 9-26 | Numdam | MR 23423 | Zbl 0034.20002