Sueur, Franck
Approche visqueuse de solutions discontinues de systèmes hyperboliques semilinéaires
Annales de l'institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 1 , p. 183-245
MR 2228685 | Zbl 1094.35024 | 1 citation dans Numdam
doi : 10.5802/aif.2177
URL stable : http://www.numdam.org/item?id=AIF_2006__56_1_183_0

Classification:  35F30,  35K50,  35R05
Mots clés: approche visqueuse, couches limites, solutions discontinues
On s’intéresse à des systèmes symétriques hyperboliques multidimensionnels en présence d’une semilinéarité. Il est bien connu que ces systèmes admettent des solutions discontinues, régulières de part et d’autre d’une hypersurface lisse caractéristique de multiplicité constante. Une telle solution u 0 étant donnée, on montre que u 0 est limite quand ε0 de solutions (u ε ) ε]0,1] du système perturbé par une viscosité de taille ε. La preuve utilise un problème mixte parabolique et des développements de couches limites. On s’intéresse aussi à des singularités plus faibles comme des sauts de dérivées.
We are interested in some multidimensional semilinear symmetric hyperbolic systems. It is well known that these systems have some discontinuous solutions which are regular outside of a smooth hypersurface characteristic of constant multiplicity. We suppose that such a solution u 0 is given and we show that u 0 is the limit, when ε0, of solutions (u ε ) ε]0,1] of the system perturbated by a viscosity of size ε. The key tools of the proof are a parabolic boundary problem and boundary layers expansions. We also consider weaker singularities as derivatives jumps.

Bibliographie

[1] Bardos, C.; Brézis, D.; Brezis, H. Perturbations singulières et prolongements maximaux d’opérateurs positifs, Arch. Rational Mech. Anal., 53 (1973/74), p. 69–100 Article  MR 348247 | Zbl 0281.47028

[2] Bardos, Claude Problèmes aux limites pour les équations aux dérivées partielles du premier ordre à coefficients réels ; théorèmes d’approximation ; application à l’équation de transport, Ann. Sci. École Norm. Sup. (4), 3 (1970), p. 185–233 Numdam | MR 274925 | Zbl 0202.36903

[3] Bardos, Claude; Rauch, Jeffrey Maximal positive boundary value problems as limits of singular perturbation problems, Trans. Amer. Math. Soc., 270 (1982) no. 2, p. 377–408 Article  MR 645322 | Zbl 0485.35010

[4] Carbou, Gilles; Fabrie, Pierre; Guès, Olivier Couche limite dans un modèle de ferromagnétisme, Comm. Partial Differential Equations, 27 (2002) no. 7-8, p. 1467–1495 Article  MR 1924474 | Zbl 1021.35120

[5] Carbou, Gilles; Fabrie, Pierre; Guès, Olivier On the ferromagnetism equations in the non static case, Commun. Pure Appl. Anal., 3 (2004) no. 3, p. 367–393 Article  MR 2098290 | Zbl 02139407

[6] Gisclon, Marguerite Étude des conditions aux limites pour un système strictement hyperbolique, via l’approximation parabolique, J. Math. Pures Appl. (9), 75 (1996) no. 5, p. 485–508 MR 1411161 | Zbl 0869.35061

[7] Goodman, Jonathan; Xin, Zhou Ping Viscous limits for piecewise smooth solutions to systems of conservation laws, Arch. Rational Mech. Anal., 121 (1992) no. 3, p. 235–265 Article  MR 1188982 | Zbl 0792.35115

[8] Grenier, Emmanuel; Guès, Olivier Boundary layers for viscous perturbations of noncharacteristic quasilinear hyperbolic problems, J. Differential Equations, 143 (1998) no. 1, p. 110–146 Article  MR 1604888 | Zbl 0896.35078

[9] Guès, Olivier Problème mixte hyperbolique quasi-linéaire caractéristique, Comm. Partial Differential Equations, 15 (1990) no. 5, p. 595–645 Article  MR 1070840 | Zbl 0712.35061

[10] Guès, Olivier Perturbations visqueuses de problèmes mixtes hyperboliques et couches limites, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 45 (1995) no. 4, p. 973–1006 Article  Numdam | MR 1359836 | Zbl 0831.34023

[11] Guès, Olivier; Métivier, Guy; Williams, Mark; Zumbrun, Kevin Multidimensional viscous shocks. II. The small viscosity limit, Comm. Pure Appl. Math., 57 (2004) no. 2, p. 141–218 Article  MR 2012648 | Zbl 02057823

[12] Guès, Olivier; Métivier, Guy; Williams, Mark; Zumbrun, Kevin Existence and stability of multidimensional shock fronts in the vanishing viscosity limit, Arch. Ration. Mech. Anal., 175 (2005) no. 2, p. 151–244 Article  MR 2118476 | Zbl 02155991

[13] Guès, Olivier; Williams, Mark Curved shocks as viscous limits : a boundary problem approach, Indiana Univ. Math. J., 51 (2002) no. 2, p. 421–450 Article  MR 1909296 | Zbl 1046.35072

[14] Kato, Tosio Nonstationary flows of viscous and ideal fluids in R 3 , J. Functional Analysis, 9 (1972), p. 296–305 Article  MR 481652 | Zbl 0229.76018

[15] Klainerman, Sergiu; Majda, Andrew Singular limits of quasilinear hyperbolic systems with large parameters and the incompressible limit of compressible fluids, Comm. Pure Appl. Math., 34 (1981) no. 4, p. 481–524 Article  MR 615627 | Zbl 0476.76068

[16] Kreiss, Heinz-Otto; Lorenz, Jens Initial-boundary value problems and the Navier-Stokes equations, Academic Press Inc., Boston, MA, Pure and Applied Mathematics, 136 (1989) MR 998379 | Zbl 0689.35001

[17] Métivier, Guy The Cauchy problem for semilinear hyperbolic systems with discontinuous data, Duke Math. J., 53 (1986) no. 4, p. 983–1011 MR 874678 | Zbl 0631.35056

[18] Métivier, Guy Problèmes de Cauchy et ondes non linéaires, Journées “Équations aux dérivées partielles” (Saint Jean de Monts, 1986), École Polytech., Palaiseau (1986) ((exposé no I, 29 pages)) Numdam | MR 874543 | Zbl 0606.35051

[19] Métivier, Guy Ondes soniques, J. Math. Pures Appl. (9), 70 (1991) no. 2, p. 197–268 MR 1103034 | Zbl 0728.35068

[20] Métivier, Guy; Zumbrun, Kevin Large viscous boundary layers for noncharacteristic nonlinear hyperbolic problems, Mem. Amer. Math. Soc., 175 (2005) no. 826, p. vi+107 MR 2130346 | Zbl 02184676

[21] Rauch, J. Boundary value problems as limits of problems in all space, Séminaire Goulaouic-Schwartz (1978/1979), École Polytech., Palaiseau (1979) ((exposé no 3, 17 pages)) Numdam | MR 557514 | Zbl 0435.35052

[22] Rauch, Jeffrey Symmetric positive systems with boundary characteristic of constant multiplicity, Trans. Amer. Math. Soc., 291 (1985) no. 1, p. 167–187 Article  MR 797053 | Zbl 0549.35099

[23] Rousset, Frédéric Inviscid boundary conditions and stability of viscous boundary layers, Asymptot. Anal., 26 (2001) no. 3-4, p. 285–306 MR 2001110 | Zbl 1052.35128

[24] Rousset, Frederic Viscous approximation of strong shocks of systems of conservation laws, SIAM J. Math. Anal., 35 (2003) no. 2, p. 492–519 ((electronic)) Article  MR 1844545 | Zbl 0977.35081

[25] Serre, Denis Systèmes de lois de conservation. I, Diderot Editeur, Paris, Fondations. [Foundations] (1996) (Hyperbolicité, entropies, ondes de choc. [Hyperbolicity, entropies, shock waves]) MR 1459988 | Zbl 0930.35002

[26] Sueur, Franck Couches limites semilinéaires (à paraître aux Annales de la faculté des sciences de Toulouse) Numdam |

[27] Sueur, Franck Couches limites : un problème inverse (à paraître dans Communications in PDE)