We give a computable sufficient condition for the symbolic dynamical system associated with a substitution of Pisot type to have a pure discrete spectrum. In the unimodular case, this condition is necessary when the substitution has no nontrivial coboundary; it is satisfied if and only if the Rauzy fractal associated with the substitution generates a self-similar periodic tiling. Conditions for connectivity of Rauzy fractals are deduced.
On donne une condition combinatoire effective suffisante pour que le sytème dynamique associé à une substitution de type Pisot ait un spectre purement discret. Dans le cas unimodulaire, cette condition est nécessaire dès que la substitution n'a qu'un cobord trivial ; elle est vérifiée si et seulement si le fractal de Rauzy associé à la substitution engendre un pavage auto-similaire et périodique. On en déduit des conditions de connexité des fractals de Rauzy.
Classification: 37B10, 52C22, 47A35, 28A80
Keywords: substitution, dynamical system, pure discrete spectrum, Rauzy fractals, tiling
@article{AIF_2004__54_2_341_0,
author = {Siegel, Anne},
title = {Syst\`eme dynamique \`a spectre discret et pavage p\'eriodique associ\'e \`a une substitution},
journal = {Annales de l'Institut Fourier},
publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
volume = {54},
number = {2},
year = {2004},
pages = {341-381},
doi = {10.5802/aif.2021},
zbl = {1083.37009},
mrnumber = {2073842},
language = {fr},
url = {http://www.numdam.org/item/AIF_2004__54_2_341_0}
}
Siegel, Anne. Système dynamique à spectre discret et pavage périodique associé à une substitution. Annales de l'Institut Fourier, Volume 54 (2004) no. 2, pp. 341-381. doi : 10.5802/aif.2021. http://www.numdam.org/item/AIF_2004__54_2_341_0/
[AI] Pisot substitutions and Rauzy fractals, Journées Montoises d'Informatique Théorique (Marne-la-Vallée, 2000) (Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 8) (2001), pp. 181-207 | MR 1838930 | Zbl 1007.37001
[Am] Les nombres -adiques, Presses Universitaires de France, Collection SUP. Le mathématicien, Tome no 14 (1975) | MR 447195 | Zbl 0313.12104
[BD] Coincidence for substitutions of Pisot type, Bull. Soc. Math. France, Tome 130 (2002), pp. 619-626 | Numdam | MR 1947456 | Zbl 1028.37008
[BT] Which distributions of matter diffract? An initial investigation, International workshop on aperiodic crystals (Les Houches, 1986) (J. Physique) Tome 47 (1986), p. C3-19-C3-28 | MR 1411132 | Zbl 0693.52002
[Ca] Connectedness of geometric representation of substitutions of Pisot type (To appear in Bull. Soc. Math. Belg.) | MR 2032327 | Zbl 1031.37015
[CS1] Automate des préfixes-suffixes associé à une substitution primitive, J. Théor. Nombres Bordeaux, Tome 13 (2001), pp. 353-369 | Numdam | MR 1879663 | Zbl 1071.37011
[CS2] Geometric representation of substitutions of Pisot type, Trans. Amer. Math. Soc., Tome 353 (2001), pp. 5121-5144 | MR 1852097 | Zbl 01663181
[De] The spectrum of dynamical systems arising from substitutions of constant length, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, Tome 41 (1977/78), pp. 221-239 | MR 461470 | Zbl 0348.54034
[DT] Systèmes de numération et fonctions fractales relatifs aux substitutions, Theoret. Comput. Sci., Tome 65 (1989), pp. 153-169 | MR 1020484 | Zbl 0679.10010
[Du] Linearly recurrent subshifts have a finite number of non-periodic subshift factors, Ergodic Theory Dynam. Systems, Tome 20 (2000), pp. 1061-1078 | MR 1779393 | Zbl 0965.37013
[Du] Corrigendum and addendum to: "Linearly recurrent subshifts have a finite number of non-periodic subshift factors", Ergodic Theory Dynam. Systems, Tome 23 (2003), pp. 663-669 | MR 1972245
[FMN] Substitution dynamical systems: algebraic characterization of eigenvalues, Ann. Sci. École Norm. Sup., Tome 29 (1996) no. 4, pp. 519-533 | Numdam | MR 1386224 | Zbl 0866.11023
[Ha] An invertible substitution with a non-connected Rauzy fractal (2002) (Preprint)
[Ho] Valeurs propres des systèmes dynamiques définis par des substitutions de longueur variable, Ergodic Theory Dynam. Systems, Tome 6 (1986) no. 4, pp. 529-540 | MR 873430 | Zbl 0625.28011
[HS] Two-symbol Pisot substitutions have pure discrete spectrum, Ergodic Theory Dynam. Systems, Tome 23 (2003), pp. 533-540 | MR 1972237 | Zbl 1031.11010
[HZ] Directed graphs and substitutions, Theory Comput. Syst., Tome 34 (2001), pp. 545-564 | MR 1865811 | Zbl 0993.68075
[Me] Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe, Acta Arith., Tome 95 (2000) no. 3, pp. 195-224 | MR 1793161 | Zbl 0968.28005
[Mo] Puissances de mots et reconnaissabilité des points fixes d'une substitution, Theoret. Comput. Sci., Tome 99 (1992) no. 2, pp. 327-334 | MR 1168468 | Zbl 0763.68049
[PF] Substitutions in Dynamics, Arithmetics and Combinatorics, Springer-Verlag, Lectures Notes in Mathematics, Tome 1794 (2002) | Zbl 1014.11015
[Qu] Substitution dynamical systems-spectral analysis, Springer-Verlag, Lecture Notes in Mathematics, Tome 1294 (1987) | MR 924156 | Zbl 0642.28013
[Ra1] Nombres algébriques et substitutions, Bull. Soc. Math. France, Tome 110 (1982) no. 2, pp. 147-178 | Numdam | MR 667748 | Zbl 0522.10032
[Ra2] Rotations sur les groupes, nombres algébriques et substitutions, Séminaire de Théorie des Nombres (Talence, 1987-1988) (1988), p. 21-01-21-12 | MR 531785 | Zbl 0726.11019
[Se] Quasicrystals and geometry, Cambridge University Press (1995) | MR 1340198 | Zbl 0828.52007
[Si1] Représentation géométrique, combinatoire et arithmétique des substitutions de type Pisot (2000) (Thèse, Université de la Méditerranée)
[Si2] Représentation des systèmes dynamiques substitutifs non unimodulaires, Ergodic Theory Dynam. Systems, Tome 23 (2003), pp. 1247-1273 | MR 1997975 | Zbl 1052.37009
[Sir] Geodesic laminations as geometric realizations of Pisot substitutions, Ergodic Theory Dynam. Systems, Tome 20 (2000), pp. 1253-1266 | MR 1779402 | Zbl 0963.37013
[Ve] Uniform algebraic approximation of shift and multiplication operators, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Tome 259 (1981) no. 3, p. 526-529; English transl.: Soviet Math. Dokl. 24-1 (1981), 97-10 | MR 625756 | Zbl 0484.47005
