no. 2
Système dynamique à spectre discret et pavage périodique associé à une substitution
Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 2, pp. 341-381.

On donne une condition combinatoire effective suffisante pour que le sytème dynamique associé à une substitution de type Pisot ait un spectre purement discret. Dans le cas unimodulaire, cette condition est nécessaire dès que la substitution n'a qu'un cobord trivial ; elle est vérifiée si et seulement si le fractal de Rauzy associé à la substitution engendre un pavage auto-similaire et périodique. On en déduit des conditions de connexité des fractals de Rauzy.

We give a computable sufficient condition for the symbolic dynamical system associated with a substitution of Pisot type to have a pure discrete spectrum. In the unimodular case, this condition is necessary when the substitution has no nontrivial coboundary; it is satisfied if and only if the Rauzy fractal associated with the substitution generates a self-similar periodic tiling. Conditions for connectivity of Rauzy fractals are deduced.

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.2021
Classification : 37B10,  52C22,  47A35,  28A80
Mots clés : substitution, système dynamique, spectre discret, fractals de Rauzy, pavages 
@article{AIF_2004__54_2_341_0,
     author = {Siegel, Anne},
     title = {Syst\`eme dynamique \`a spectre discret et pavage p\'eriodique associ\'e \`a une substitution},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     pages = {341--381},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
     volume = {54},
     number = {2},
     year = {2004},
     doi = {10.5802/aif.2021},
     zbl = {1083.37009},
     mrnumber = {2073842},
     language = {fr},
     url = {www.numdam.org/item/AIF_2004__54_2_341_0/}
}
Siegel, Anne. Système dynamique à spectre discret et pavage périodique associé à une substitution. Annales de l'Institut Fourier, Tome 54 (2004) no. 2, pp. 341-381. doi : 10.5802/aif.2021. http://www.numdam.org/item/AIF_2004__54_2_341_0/

[AI] P. Arnoux; S. Ito Pisot substitutions and Rauzy fractals, Journées Montoises d'Informatique Théorique (Marne-la-Vallée, 2000) (Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 8) (2001), pp. 181-207 | MR 1838930 | Zbl 1007.37001

[Am] Y. Amice Les nombres p-adiques, Collection SUP. Le mathématicien, Volume no 14, Presses Universitaires de France, 1975 | MR 447195 | Zbl 0313.12104

[BD] M. Barge; B. Diamond Coincidence for substitutions of Pisot type, Bull. Soc. Math. France, Volume 130 (2002), pp. 619-626 | Numdam | MR 1947456 | Zbl 1028.37008

[BT] E. Bombieri; J.E. Taylor Which distributions of matter diffract? An initial investigation, International workshop on aperiodic crystals (Les Houches, 1986) (J. Physique) Volume 47 (1986), p. C3-19-C3-28 | MR 1411132 | Zbl 0693.52002

[Ca] V. Canterini Connectedness of geometric representation of substitutions of Pisot type (To appear in Bull. Soc. Math. Belg.) | MR 2032327 | Zbl 1031.37015

[CS1] V. Canterini; A. Siegel Automate des préfixes-suffixes associé à une substitution primitive, J. Théor. Nombres Bordeaux, Volume 13 (2001), pp. 353-369 | Numdam | MR 1879663 | Zbl 1071.37011

[CS2] V. Canterini; A. Siegel Geometric representation of substitutions of Pisot type, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 353 (2001), pp. 5121-5144 | MR 1852097 | Zbl 01663181

[De] F.M. Dekking The spectrum of dynamical systems arising from substitutions of constant length, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, Volume 41 (1977/78), pp. 221-239 | MR 461470 | Zbl 0348.54034

[DT] J.-M. Dumont; A. Thomas Systèmes de numération et fonctions fractales relatifs aux substitutions, Theoret. Comput. Sci., Volume 65 (1989), pp. 153-169 | MR 1020484 | Zbl 0679.10010

[Du] F. Durand Linearly recurrent subshifts have a finite number of non-periodic subshift factors, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 20 (2000), pp. 1061-1078 | MR 1779393 | Zbl 0965.37013

[Du] F. Durand Corrigendum and addendum to: "Linearly recurrent subshifts have a finite number of non-periodic subshift factors", Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 23 (2003), pp. 663-669 | MR 1972245

[FMN] S. Ferenczi; C. Mauduit; A. Nogueira Substitution dynamical systems: algebraic characterization of eigenvalues, Ann. Sci. École Norm. Sup., Volume 29 (1996) no. 4, pp. 519-533 | Numdam | MR 1386224 | Zbl 0866.11023

[Ha] E. Harriss An invertible substitution with a non-connected Rauzy fractal (2002) (Preprint)

[Ho] B. Host Valeurs propres des systèmes dynamiques définis par des substitutions de longueur variable, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 6 (1986) no. 4, pp. 529-540 | MR 873430 | Zbl 0625.28011

[HS] M. Hollander; B. Solomyak Two-symbol Pisot substitutions have pure discrete spectrum, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 23 (2003), pp. 533-540 | MR 1972237 | Zbl 1031.11010

[HZ] C. Holton; L.Q. Zamboni Directed graphs and substitutions, Theory Comput. Syst., Volume 34 (2001), pp. 545-564 | MR 1865811 | Zbl 0993.68075

[Me] A. Messaoudi Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe, Acta Arith., Volume 95 (2000) no. 3, pp. 195-224 | MR 1793161 | Zbl 0968.28005

[Mo] B. Mossé Puissances de mots et reconnaissabilité des points fixes d'une substitution, Theoret. Comput. Sci., Volume 99 (1992) no. 2, pp. 327-334 | MR 1168468 | Zbl 0763.68049

[PF] N. Pytheas-Fogg Substitutions in Dynamics, Arithmetics and Combinatorics, Lectures Notes in Mathematics, Volume 1794, Springer-Verlag, 2002 | Zbl 1014.11015

[Qu] M. Queffélec Substitution dynamical systems-spectral analysis, Lecture Notes in Mathematics, Volume 1294, Springer-Verlag, 1987 | MR 924156 | Zbl 0642.28013

[Ra1] G. Rauzy Nombres algébriques et substitutions, Bull. Soc. Math. France, Volume 110 (1982) no. 2, pp. 147-178 | Numdam | MR 667748 | Zbl 0522.10032

[Ra2] G. Rauzy Rotations sur les groupes, nombres algébriques et substitutions, Séminaire de Théorie des Nombres (Talence, 1987-1988) (1988), p. 21-01-21-12 | MR 531785 | Zbl 0726.11019

[Se] M. Senechal Quasicrystals and geometry, Cambridge University Press, 1995 | MR 1340198 | Zbl 0828.52007

[Si1] A. Siegel Représentation géométrique, combinatoire et arithmétique des substitutions de type Pisot (2000) (Thèse, Université de la Méditerranée)

[Si2] A. Siegel Représentation des systèmes dynamiques substitutifs non unimodulaires, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 23 (2003), pp. 1247-1273 | MR 1997975 | Zbl 1052.37009

[Sir] V.F. Sirvent Geodesic laminations as geometric realizations of Pisot substitutions, Ergodic Theory Dynam. Systems, Volume 20 (2000), pp. 1253-1266 | MR 1779402 | Zbl 0963.37013

[Ve] A.M. Vershik Uniform algebraic approximation of shift and multiplication operators, Dokl. Akad. Nauk SSSR, Volume 259 (1981) no. 3, p. 526-529; English transl.: Soviet Math. Dokl. 24-1 (1981), 97-10 | MR 625756 | Zbl 0484.47005