La formule du caractère pour les groupes de Lie presque algébriques réels

Khalgui, Mohamed Salah; Torasso, Pierre

La formule du caractère pour les groupes de Lie presque algébriques réels [ Character formula for almost algebraic groups over the reals ]

Khalgui, Mohamed Salah; Torasso, Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Volume 52 (2002) no. 5, p. 1301-1364

Abstract
Résumé

In this paper, our main aim is to give a global description of the character of the unitary irreducible representations of an almost algebraic group constructed by M. Duflo in the framework of the orbit method. In this direction we prove, under certain conditions, a localisation formula which expresses the character of a representation associated to the coadjoint orbit $Ω$ in term of the Fourier transform of the Liouville measure on the set $Ω^{s}$ of $s$ -fixed points in $Ω$ . Among our conditions is the fact that the Liouville measures on $Ω$ and $Ω^{s}$ are tempered. This hypothesis is satisfied as soon as the orbit $Ω$ is closed. We thus obtain in this case a global description of the character. Our result generalizes those of M. Duflo, G. Heckman and M. Vergne concerning the discrete series of connected semi- simple Lie groups and those of A. Bouaziz concerning the tempered representations of reductive groups in the Harish-Chandra class.

Le but de ce travail est de donner une description globale du caractère des représentations unitaires irréductibles d’un groupe presque algèbrique réel, construites par M. Duflo dans le cadre de la méthode des orbites. Pour ce faire, nous démontrons sous certaines conditions une formule de localisation permettant d’exprimer le caractère d’une représentation associée à l’orbite coadjointe $Ω$ au voisinage d’un élément elliptique $s$ en terme de la transformée de Fourier de la mesure de Liouville sur l’ensemble des points fixes $Ω^{s}$ de $s$ dans $Ω$ . Parmi les conditions imposées, figure le fait que les mesures de Liouville sur $Ω$ et $Ω^{s}$ sont tempérées. Cette hypothèse est satisfaite dès que l’orbite $Ω$ est fermée et nous obtenons dans ce cas une description globale du caractère. Notre résultat généralise ceux obtenus par M. Duflo, G. Heckman et M. Vergne pour les séries discrètes des groupes semi- simples connexes et par A. Bouaziz pour les représentations tempérées des groupes réductifs dans la classe de Harish-Chandra.

MR 1935552 | Zbl 1024.22006

DOI : https://doi.org/10.5802/aif.1920
Classification: 22E30, 22E45
Keywords: almost algebraic groups, character formula, method of orbits, descent method

@article{AIF_2002__52_5_1301_0,
     author = {Khalgui, Mohamed Salah and Torasso, Pierre},
     title = {La formule du caract\`ere pour les groupes de Lie presque alg\'ebriques r\'eels},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Association des Annales de l'institut Fourier},
     volume = {52},
     number = {5},
     year = {2002},
     pages = {1301-1364},
     doi = {10.5802/aif.1920},
     zbl = {1024.22006},
     mrnumber = {1935552},
     language = {fr},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_2002__52_5_1301_0}
}

Khalgui, Mohamed Salah; Torasso, Pierre. La formule du caractère pour les groupes de Lie presque algébriques réels. Annales de l'Institut Fourier, Volume 52 (2002) no. 5, pp. 1301-1364. doi : 10.5802/aif.1920. http://www.numdam.org/item/AIF_2002__52_5_1301_0/

References

[1] M. Andler La formule de Plancherel pour les groupes algébriques complexes unimodulaires, Acta. Math, Tome 154 (1985), pp. 1-104 | Article | MR 772432 | Zbl 0558.22006

[2] A. Bouaziz Sur les caractères des groupes de Lie réductifs non connexes, J. Funct. Anal, Tome 70 (1987), pp. 1-79 | Article | MR 870753 | Zbl 0622.22009

[3] J.-Y. Charbonnel Sur les orbites de la représentation coadjointe, Compositio Math, Tome 46 (1982), pp. 273-305 | Numdam | MR 664647 | Zbl 0516.22013

[4] J.-Y. Charbonnel Sur les caractères des groupes de Lie, J. Funct. Anal, Tome 72 (1987), pp. 94-150 | Article | MR 883505 | Zbl 0679.22009

[5] M. Duflo; A. F. Talamanca Éd. Construction de représentations unitaires d'un groupe de Lie, Harmonic Analysis and Group Representations, CIME, 1980, Liguori Editori, Napoli (1982), pp. 129-221

[6] M. Duflo Théorie de Mackey pour les groupes de Lie algébriques, Acta. Math, Tome 149 (1982), pp. 153-213 | Article | MR 688348 | Zbl 0529.22011

[7] M. Duflo; R. Herb, R. Johnson, R. Lipsman Et J. Rosenberg, Éds. On the Plancherel formula for algebraic real Lie groups, Lie Group Representations, III (College Park, Md., 1982/1983), Springer Verlag, Berlin/New York (Lecture notes in Mathematics) Tome 1077 (1982), pp. 101-165 | Zbl 0546.22014

[8] M. Duflo; G. Heckman; M. Vergne Projection d'orbites, formule de Kirillov et formule de Blattner, Mem. Soc. Math. Fr, Tome 15 (1984), pp. 65-128 | Numdam | MR 789081 | Zbl 0575.22014

[9] M. Duflo; C. C. Moore On the Regular Representation of a Nonunimodular Locally Compact Group, J. Funct. Anal, Tome 21 (1976), pp. 209-243 | Article | MR 393335 | Zbl 0317.43013

[10] M. Duflo; M. Raïs Sur l'analyse harmonique sur les groupes de Lie résolubles, Ann. Scien. Ecole Norm. Sup, Tome 9 (1976), pp. 107-144 | Numdam | MR 435294 | Zbl 0324.43011

[11] M. Duflo; M. Vergne Une propriété de la représentation co-adjointe d'une algèbre de Lie, C. R. Acad. Sci. Paris, Sé. A-B, Tome 268 (1969), pp. 583-585 | MR 245629 | Zbl 0192.37402

[12] M. Duflo; M. Vergne La formule de Plancherel des groupes de Lie semi-simples réels, Representations of Lie Groups (Kyoto, Hiroshima, 1986), Academic Press, Boston, MA (Adv. Stud. Pure Math.) Tome 14 (1988) | Zbl 0759.22017

[13] M. Duflo; M. Vergne Cohomologie équivariante et descente, Astérisque, Tome 215 (1993), pp. 1-108 | MR 1247060

[14] Harish; - Chandra Invariant eigendistribution on a semisimple Lie group, Trans. Amer. Math. Soc, Tome 119 (1965), pp. 457-508 | Article | MR 180631 | Zbl 0199.46402

[15] M.S. Khalgui Sur les caractères des groupes de Lie à radical cocompact, Bull. Soc. Math. France, Tome 109 (1981), pp. 331-372 | Numdam | MR 680281 | Zbl 0484.22020

[16] M.S. Khalgui Caractères des groupes de Lie, J. Funct. Anal, Tome 47 (1982), pp. 64-77 | Article | MR 663833 | Zbl 0507.22009

[17] M.S. Khalgui Caractères des représentations factorielles normales d'un groupe de Lie connexe, Mém. Soc. Math. France, Tome 15 (1984), pp. 219-253 | Numdam | MR 789086 | Zbl 0564.22009

[18] M.S. Khalgui; P. Torasso Formule de Poisson-Plancherel pour un groupe presque algébrique réel. I. Transformée de Fourier d'intégrales orbitales, J. Funct. Anal, Tome 116 (1993), pp. 359-440 | Article | MR 1239076 | Zbl 0836.22021

[19] A. A. Kirillov Characters of unitary representations of Lie groups, Funct. Anal. Appl, Tome 2 (1968), pp. 40-55 | MR 236318 | Zbl 0174.45001

[20] A. A. Kirillov Characters of the unitary representations of Lie groups : Reduction theorems, Funct. Anal. Appl, Tome 3 (1969), pp. 36-47 | MR 248286 | Zbl 0194.33901

[21] K. Maktouf Le caractère de la représentation métaplectique et la formule du caractère pour certaines représentations d'un groupe de Lie presque algébrique sur un corps p-adique, J. Funct. Anal, Tome 164 (1999), pp. 249-339 | Article | MR 1695563 | Zbl 0948.22017

[22] N. V. Pedersen Semicharacters and solvable Lie groups, Math. Ann, Tome 247 (1980), pp. 191-244 | Article | MR 568989 | Zbl 0406.22008

[23] L. Pukanszky Unitary representations of solvable Lie groups, Ann. Scien. École Norm. Sup, Tome 4 (1971), pp. 81-137 | Numdam | MR 439985 | Zbl 0238.22010

[24] V. S. Varadarajan Harmonic Analysis on Real Reductive Lie Groups, Springer-Verlag, Berlin/New York, Lecture Notes in Mathematics, Tome vol. 576 (1977) | MR 473111 | Zbl 0354.43001