La formule du caractère pour les groupes de Lie presque algébriques réels

Le but de ce travail est de donner une description globale du caractère des représentations unitaires irréductibles d’un groupe presque algèbrique réel, construites par M. Duflo dans le cadre de la méthode des orbites. Pour ce faire, nous démontrons sous certaines conditions une formule de localisation permettant d’exprimer le caractère d’une représentation associée à l’orbite coadjointe $\Omega$ au voisinage d’un élément elliptique $s$ en terme de la transformée de Fourier de la mesure de Liouville sur l’ensemble des points fixes ${\Omega }^s$ de $s$ dans $\Omega$. Parmi les conditions imposées, figure le fait que les mesures de Liouville sur $\Omega$ et ${\Omega }^s$ sont tempérées. Cette hypothèse est satisfaite dès que l’orbite $\Omega$ est fermée et nous obtenons dans ce cas une description globale du caractère. Notre résultat généralise ceux obtenus par M. Duflo, G. Heckman et M. Vergne pour les séries discrètes des groupes semi- simples connexes et par A. Bouaziz pour les représentations tempérées des groupes réductifs dans la classe de Harish-Chandra.

In this paper, our main aim is to give a global description of the character of the unitary irreducible representations of an almost algebraic group constructed by M. Duflo in the framework of the orbit method. In this direction we prove, under certain conditions, a localisation formula which expresses the character of a representation associated to the coadjoint orbit $\Omega$ in term of the Fourier transform of the Liouville measure on the set ${\Omega }^s$ of $s$-fixed points in $\Omega$. Among our conditions is the fact that the Liouville measures on $\Omega$ and ${\Omega }^s$ are tempered. This hypothesis is satisfied as soon as the orbit $\Omega$ is closed. We thus obtain in this case a global description of the character. Our result generalizes those of M. Duflo, G. Heckman and M. Vergne concerning the discrete series of connected semi- simple Lie groups and those of A. Bouaziz concerning the tempered representations of reductive groups in the Harish-Chandra class.