The trace of the generalized harmonic oscillator
Annales de l'Institut Fourier, Volume 49 (1999) no. 1, p. 351-373

We study a geometric generalization of the time-dependent Schrödinger equation for the harmonic oscillator

Dt+12Δ+Vψ=0(0.1)

where Δ is the Laplace-Beltrami operator with respect to a “scattering metric” on a compact manifold M with boundary (the class of scattering metrics is a generalization of asymptotically Euclidean metrics on n , radially compactified to the ball) and V is a perturbation of 1 2ω 2 x -2 , with x a boundary defining function for M (e.g. x=1/r in the compactified Euclidean case). Using the quadratic-scattering wavefront set, a generalization of Hörmander’s wavefront set that measures oscillation at M as well as singularities, we describe a propagation of singularities theorem for solutions of (0.1). This enables us to prove the following trace theorem : let

Sω=Lω:thereexistsaclosedgeodesicinMoflength±Lnπω:thereexistsageodesicn-goninMwithverticesM{0}.

Let U(t)=e it(1 2Δ+V) be the solution operator to the Cauchy problem for (0.1). Then under a non-trapping assumption for the geodesic flow on M , we have

supp sing Tr U(t)Sω,

where Tr U(t) is the distribution given by integrating the Schwartz kernel of U(t) over the diagonal in M×M or, alternatively, by j e -itλ j , where λ j are the eigenvalues of 1 2Δ+V.

On étudie une généralisation géométrique de l’équation de Schrödinger dépendant du temps pour l’oscillateur harmonique

Dt+12Δ+Vψ=0,(0.1)

Δ est l’opérateur de Laplace-Beltrami associé à une “métrique scattering” sur une variété compacte M à bord (la classe des métriques scattering est une généralisation des métriques asymptotiquement euclidiennes sur n , compactifié radialement en une boule) et V est une perturbation de 1 2ω 2 x -2 , où x est une fonction qui définit le bord de M ( par exemple, x=1/r dans le cas euclidien compactifié). En employant le front d’onde quadratique-scattering, une généralisation du front d’onde de Hörmander qui mesure les oscillations sur M ainsi que les singularités, on décrit un théorème de propagation des singularités pour les solutions de (0.1). Ceci permet de démontrer le théorème de trace suivant : soit

Sω=Lω;ilexisteunegéodésiqueferméedansMdelongueur±Lnπω;ilexisteunn-polygonegéodésiquedansM,àsommetssurM{0}.

Soit U(t)=e it(1 2Δ+V) l’opérateur solution du problème de Cauchy pour (0.1). Alors sous une hypothèse de non-captivité pour le flot géodésique sur M , on a

supp sing Tr U(t)Sω,

Tr U(t) est la distribution qu’on obtient en intégrant le noyau de Schwartz de U(t) sur la diagonale de M×M, ou bien en prenant j e -itλ j , où les λ j sont les valeurs propres de 1 2Δ+V.

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     author = {Wunsch, Jared},
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Wunsch, Jared. The trace of the generalized harmonic oscillator. Annales de l'Institut Fourier, Volume 49 (1999) no. 1, pp. 351-373. doi : 10.5802/aif.1677. http://www.numdam.org/item/AIF_1999__49_1_351_0/

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