We study a geometric generalization of the time-dependent Schrödinger equation for the harmonic oscillator
where is the Laplace-Beltrami operator with respect to a “scattering metric” on a compact manifold with boundary (the class of scattering metrics is a generalization of asymptotically Euclidean metrics on , radially compactified to the ball) and is a perturbation of , with a boundary defining function for (e.g. in the compactified Euclidean case). Using the quadratic-scattering wavefront set, a generalization of Hörmander’s wavefront set that measures oscillation at as well as singularities, we describe a propagation of singularities theorem for solutions of (0.1). This enables us to prove the following trace theorem : let
Let be the solution operator to the Cauchy problem for (0.1). Then under a non-trapping assumption for the geodesic flow on , we have
where is the distribution given by integrating the Schwartz kernel of over the diagonal in or, alternatively, by , where are the eigenvalues of .
On étudie une généralisation géométrique de l’équation de Schrödinger dépendant du temps pour l’oscillateur harmonique
où est l’opérateur de Laplace-Beltrami associé à une “métrique scattering” sur une variété compacte à bord (la classe des métriques scattering est une généralisation des métriques asymptotiquement euclidiennes sur , compactifié radialement en une boule) et est une perturbation de , où est une fonction qui définit le bord de ( par exemple, dans le cas euclidien compactifié). En employant le front d’onde quadratique-scattering, une généralisation du front d’onde de Hörmander qui mesure les oscillations sur ainsi que les singularités, on décrit un théorème de propagation des singularités pour les solutions de (0.1). Ceci permet de démontrer le théorème de trace suivant : soit
Soit l’opérateur solution du problème de Cauchy pour (0.1). Alors sous une hypothèse de non-captivité pour le flot géodésique sur , on a
où est la distribution qu’on obtient en intégrant le noyau de Schwartz de sur la diagonale de , ou bien en prenant , où les sont les valeurs propres de .
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TY - JOUR AU - Wunsch, Jared TI - The trace of the generalized harmonic oscillator JO - Annales de l'Institut Fourier PY - 1999 SP - 351 EP - 373 VL - 49 IS - 1 PB - Association des Annales de l’institut Fourier UR - http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1677/ DO - 10.5802/aif.1677 LA - en ID - AIF_1999__49_1_351_0 ER -
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Wunsch, Jared. The trace of the generalized harmonic oscillator. Annales de l'Institut Fourier, Volume 49 (1999) no. 1, pp. 351-373. doi : 10.5802/aif.1677. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1677/
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