Sur les séries formelles solutions d'équations aux différences polynomiales
Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 2, p. 495-524
Dans cet article, nous montrons que toute série formelle (en 1/x), resp. toute série de factorielles formelle, solution d’une équation linéaire aux différences finies à coefficients polynômes est Gevrey d’un ordre qui peut se lire sur un, ou plutôt deux, polygone(s) de Newton convenable(s). Nous calculons également l’indice d’un tel opérateur agissant sur des espaces de séries Gevrey factorielles ou ordinaires.
In this paper, we show that formal power series as well as formal factorial series solutions of a linear difference equation with polynomial coefficients are Gevrey of some order which can be obtained from two suitably defined Newton polygons. We compute also the index of this kind of operators acting on spaces of power or factorial series.
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     author = {Barkatou, A. and Duval, Anne},
     title = {Sur les s\'eries formelles solutions d'\'equations aux diff\'erences polynomiales},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
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Barkatou, A.; Duval, Anne. Sur les séries formelles solutions d'équations aux différences polynomiales. Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 2, pp. 495-524. doi : 10.5802/aif.1407. http://www.numdam.org/item/AIF_1994__44_2_495_0/

[1]A. Duval, Lemmes de Hensel et factorisation formelle pour les opérateurs aux différences., Funkcial Ekvac., 26 (1983), 349-368. | MR 86h:12011 | Zbl 0543.12018

[2]J. Écalle, Les fonctions résurgentes tome 3, Publications Mathématiques d'Orsay, 85.05 (1985). | Zbl 0602.30029

[3]R. Gérard et D. Lutz, Maillet type theorems for algebraic difference equations, Kumamoto J. Math., Vol 3, March (1990), 11-26. | MR 91k:39001 | Zbl 0712.39015

[4]B. Malgrange, Sur les points singuliers des équations différentielles, L'Enseignement Math., 20 (1974), 147-176. | MR 51 #4316 | Zbl 0299.34011

[5]N.E. Nörlund, Leçons sur les séries d'interpolation, Gauthiers Villars et Cie, Paris, 1926. | JFM 52.0301.04

[6]N.E. Nörlund, Leçons sur les équations linéaires aux différences finies, Gauthiers Villars et Cie, Paris, 1929. | JFM 55.0869.01

[7]C. Praagman, Stokes and Gevrey Phenomena in Relation to Index Theorems in the Theory of Meromorphic Linear Difference Equations, Funkcialaj Ekvac., 29 (1986), 259-279. | MR 89c:39009 | Zbl 0618.39002

[8]J.P. Ramis, Théorèmes d'indices Gevrey pour les équations différentielles ordinaires, Memoirs of the A.M.S., Nr. 296 (1984). | MR 86e:34021 | Zbl 0555.47020