Réversibilité et classification des centres nilpotents
Annales de l'Institut Fourier, Tome 44 (1994) no. 2, pp. 465-494.

Nous considérons un germe ω de 1-forme analytique dans 2 ,0 dont le 1-jet est ydy. Nous montrons que si l’équation ω=0 définit un centre (i.e toutes les courbes solutions sont des cycles) il existe une involution analytique de 2 ,0 préservant le portrait de phase du système. Géométriquement ceci signifie que les centres analytiques nilpotents sont obtenus par image réciproque par des applications pli. Un théorème de conjugaison équivariante permet d’obtenir une classification complète de ces centres.

We consider a germ ω of analytic 1-form in 2 ,0 with 1-jet ydy. We prove that if ω=0 defines a center (i.e all solutions are cycles) there exists an analytic involution of 2 ,0 preserving the phase portrait of the system. Geometrically this means that analytic nilpotent centers are built by pull back with fold applications. A theorem of equivariant conjugacy leads to the complete classification of such centers.

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[Br]M. Brunella, Vanishing holonomy and monodromy of certain centers and foci, preprint SISSA (1992). | Zbl

[CeMo]D. Cerveau et R. Moussu, Groupes d'automorphismes de (ℂ,0) et équations différentielles y dy+ = 0, Bull. Soc. Math. France, 116 (1988), 459-488. | Numdam | MR | Zbl

[Du1]H. Dulac, Sur les cycles limites, Bull. Soc. Math. France, 51 (1923), 45-188. | JFM | Numdam

[Du2]H. Dulac, Recherche sur les points singuliers des équations différentielles, J. École Polytechnique, 2, sec. 9 (1904), 1-125. | JFM

[Ec]J. Écalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Actualités Mathématiques, Publication Hermann, 1992.

[Il]Y. Il Yashenko, Finiteness theorem for limit cycles, Translations of Mathematical Monographs, vol. 94, AMS, 1991. | Zbl

[Li]A.M. Liapounov, Stability of motion, Academic Press, 1966. | Zbl

[MaRa]J. Martinet et J.-P. Ramis, Analytic Classification of Resonant Saddles and Foci, Singularities and Dynamical Systems, North-Holland Math. Studies, 103 (1985), 109-135. | MR | Zbl

[MaMo]J.F. Mattéi et R. Moussu, Holonomie et intégrales premières, Ann. Sci. École Normale Supérieure, 13 (1980), 469-523. | Numdam | MR | Zbl

[Me]R. Méziani, Problème de modules pour des équations dégénérées de ℂ2, Thèse de l'Université de Rennes, 1992.

[Mo1]R. Moussu, Une démonstration géométrique d'un théorème de Poincaré-Liapounov, Astérisque, 98-99 (1982), 216-223. | MR | Zbl

[Mo2]R. Moussu, Symétries et formes normales des centres et foyers dégénérées, Ergod. Th. and Dynam. Systems, 2 (1982), 241-251. | MR | Zbl

[Mo3]R. Moussu, Holonomie évanescente des équations différentielles dégénérées transverses, in Singularities and dynamical systems, North Holland, 1985. | MR | Zbl

[Po]H. Poincaré, Mémoires sur les courbes définies par une équation différentielle, J. Math. Pures Appl., 37 (1881), 375-442. | EuDML | JFM

[SaCo]G. Sansone et R. Conti, Non Linear Differential Equations, Pergamon Press, 1964. | MR | Zbl

[Ta]F. Takens, Singularities of vector fields, Publ. Math. IHES, 43 (1974), 47-100. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

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