Périodicité (mod q) des suites elliptiques et points S-entiers sur les courbes elliptiques
Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 3, pp. 585-618.

Soit E une courbe elliptique sur par un modèle de Weierstrass généralisé :

y 2 + A 1 x y + A 3 y = x 3 + A 2 x 2 + A 4 x + A 6 ; A i .

Soit M=(a/d 2 ,b/d 3 ) avec (a,d)=1, un point rationnel sur cette courbe. Pour tout entier m, on exprime les coordonnées de mM sous la forme :

m M = ϕ m ( M ) ψ n 2 ( m ) , ω m ( M ) ψ m 3 ( M ) = ϕ ^ m d 2 ψ ^ m 2 , ω ^ m d 3 ψ ^ m 3 ,

ϕ m ,ψ_m,ω m [A 1 ,,A 6 ,x,y] et ϕ ^ m , ψ ^ m , ω ^ m sont déduits par multiplication par des puissances convenables de d.

Soit p un nombre premier impair et supposons que M( mod p) est non singulier et que le rang d’apparition de p dans la suite d’entiers (ψ ^ m ) est supérieur ou égal à trois. Notons ce rang par r=r(p) et soit ν p (ψ ^ r )=e 0 1. Nous montrons que la suite (ψ ^ m ) est périodique (mod p N ) pour tout N1. Notons cette période par π N , alors il existe un rang N 1 effectivement calculable, avec 1N 1 e 0 , tel que π 1 ==π N 1 et π N+1 =pπ N pour NN 1 . Ces considérations sont utilisées pour déterminer les points S-entiers sur les courbes elliptiques.

Let E be an elliptic curve defined over by a generalized Weierstrass equation:

y 2 + A 1 x y + A 3 y = x 3 + A 2 x 2 + A 4 x + A 6 ; A i .

Let M=(a/d 2 ,b/d 3 ), with (a,d)=1, be a rational point on this curve. For every integer m, we express the coordinates of mM in the form:

m M = ϕ m ( M ) ψ n 2 ( m ) , ω m ( M ) ψ m 3 ( M ) = ϕ ^ m d 2 ψ ^ m 2 , ω ^ m d 3 ψ ^ m 3 ,

where ϕ m ,ψ_m,ω m [A 1 ,,A 6 ,x,y] and ϕ ^ m , ψ ^ m , ω ^ m are obtained from these by multiplying by appropriate powers of d.

Let p be a rational odd prime and suppose that M( mod p) is non singular and that the rank of apparition of p in the sequence of integer (ψ ^ m ) is at least equal to three. Denote this rank by r=r(p) and let ν p (ψ ^ r )=e 0 1. We show that the sequence (ψ ^ m ) is periodic (mod p N ) for every N1. Denote this period by Π N , then there exists a rank N 1 effectively computable, 1N 1 e 0 , such that π 1 ==π N 1 and π N+1 =pπ N for NN 1 . These considerations are used to find S-integral points on elliptic curves.

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Ayad, Mohamed. Périodicité (mod $q$) des suites elliptiques et points $S$-entiers sur les courbes elliptiques. Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 3, pp. 585-618. doi : 10.5802/aif.1349. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.1349/

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