Sur l’équation de Monge-Ampère complexe dans la boule de ${ℂ}^n$

On considère le problème de Dirichlet :

$$(d{d}^{c}u{)}^n=0\mathrm{dans}B$$

et

$$u{|}_{\partial B}=\phi$$

où $B$ désigne la boule unité de ${ℂ}^n.$

Nous donnons une démonstration simple du fait que si $\phi \in C^{1,1}\left(\partial B\right)$, alors $u\in C^{1,1}\left(B\right)$; de plus la croissance du coefficient de Lipschitz de la différentielle de $u$ est contrôlée par l’inverse de la distance au bord.

Let us consider the Dirichlet problem:

$$(d{d}^{c}u{)}^n=0\mathrm{dans}B$$

and

$$u{|}_{\partial B}=\phi$$

where $B$ stands for the units ball in ${ℂ}^n$.

We give a simple proof of the following fact: if $\varphi \in C^{1,1}\left(\partial B\right)$ then $u\in C^{1,1}\left(B\right)$; furthermore the growth of the Lipschitz coefficient of the differential of $u$ is controlled by the inverse of the distance to the boundary.