Hulek, K.; Potier, Joseph Le
Sur l’espace de modules des faisceaux semi stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur 2
Annales de l'institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 2 , p. 251-292
Zbl 0658.14008 | 1 citation dans Numdam
doi : 10.5802/aif.1167
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L’espace de modules M=M(0,3) des faisceaux semi-stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur le plan projectif 2 est une variété projective irréductible et lisse de dimension 9. Dans M, les points qui ne proviennent pas d’un faisceau localement libre constituent une hypersurface M. Dans cet article, nous montrons que toute surface complété de M rencontre la frontière M, autrement dit qu’il n’existe pas de famille de fibrés vectoriels paramétrée par une surface complète de M. La démonstration repose sur la construction d’un morphisme birationnel φ:M Gr de M dans la grassmannienne Gr des réseaux de coniques de 2 , ce qui nous permet d’identifier M avec l’éclaté d’une surface de Gr. Ceci conduit à une description précise de l’algèbre de cohomologie de M, description utilisée pour déterminer quelle pourrait être la classe fondamentale des surfaces complètes de M ne rencontrant pas M et aboutir à une contradiction.
The moduli space of semi-stable sheaves of rank-2 and Chern classes (0,3) on the projective plane 2 , denoted by M=M(0,3), is a smooth irreducible projective variety of dimension 9. In M, the points which come from sheaves which are not locally free give a hypersurface M. In this article we show that all complete surfaces in M must meet the boundary M; in other words, there does not exist a family of vector bundles which is parametrized by a complete surface in M. The essential point of the proof is the construction of a birational morphism Φ:M, Gr from M to the grassmannian Gr of nets of conics in 2 ; this allows us to identify M with a blow-up of Gr along a surface. This gives us a precise description of cohomology algebra of M and we use this to determine the fundamental class of a complete surface in M which does not meet M. We then show that this value of the fundamental class can not arise.

Bibliographie

[1] E. Arbarello, M. Cornalba, P.A. Griffiths, J. Harris, Geometry of algebraic curves, Springer-Verlag, 1985. MR 86h:14019 | Zbl 0559.14017

[2] W. Barth, Moduli of vector bundles on the projective plane, Inventiones Math., 42 (1977), 63-91. MR 57 #324 | Zbl 0386.14005

[3] J.-M. Drezet et J. Le Potier, Fibrés stables et fibrés exceptionnels sur ℙ2, Ann. Sc. Éc. Norm. Sup., 18 (1985), 193-244. Numdam | MR 87e:14014 | Zbl 0586.14007

[4] W. Fulton, Intersection theory, Springer-Verlag, 1984. MR 85k:14004 | Zbl 0541.14005

[5] P.A. Griffiths and J. Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley Interscience, New York, 1978. MR 80b:14001 | Zbl 0408.14001

[6] R. Hartshorne, Algebraic geometry, Springer-Verlag, 1977. MR 57 #3116 | Zbl 0367.14001

[7] A. Hirschowitz et K. Hulek, Complete families of stable vector bundles over ℙ2. In : Complex analysis and algebraic geometry, Lecture Notes in Math., Springer, 1194 (1986), 19-33. MR 87j:14019 | Zbl 0599.14012

[8] K. Hulek and S. A. Strømme, Appendix to the paper "Complete families of stable vector bundles over P2", Lecture Notes in Math., Springer, 1194 (1986), 34-40. Zbl 0599.14013

[9] J. Le Potier, Fibrés stables de rang 2 sur ℙ2(ℂ), Math. Annalen, 241 (1979), 217-256. MR 80m:14012 | Zbl 0405.14008

[10] J. Le Potier, Stabilité et amplitude sur ℙ2, Vector bundles and differential equations, Progress in Math. 7, Birkhauser, Boston (1980), 145-182. MR 82b:14013 | Zbl 0508.14010

[11] J. Le Potier, Variétés de modules de faisceaux semistables de rang élevé sur ℙ2, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Algebraic Geometry, Bowdoin (1985), Volume 46 (2), 87-107. MR 89b:14019 | Zbl 0673.14008

[12] M. Maruyama, Moduli of stable sheaves, II, J. Math. Kyoto Univ., 18 (1978), 557-614. MR 82h:14011 | Zbl 0395.14006

[13] J.-P. Serre, Algèbre locale et multiplicités (rédigé par P. Gabriel), Lectures Notes in Math., Springer, 1965.

[14] S. A. Stromme, Ample divisors on fine moduli spaces on the projective plane, Math. Z., 187 (1984), 405-423. MR 85i:14004 | Zbl 0533.14006