Sur l’espace de modules des faisceaux semi stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur ${\mathbb{P}}_2$

Hulek, K.; Le Potier, Joseph

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 2, pp. 251-292

L’espace de modules $M=M(0,3)$ des faisceaux semi-stables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur le plan projectif ${\mathbb{P}}_2$ est une variété projective irréductible et lisse de dimension 9. Dans $M$, les points qui ne proviennent pas d’un faisceau localement libre constituent une hypersurface $\partial M$. Dans cet article, nous montrons que toute surface complété de $M$ rencontre la frontière $\partial M$, autrement dit qu’il n’existe pas de famille de fibrés vectoriels paramétrée par une surface complète de $M$. La démonstration repose sur la construction d’un morphisme birationnel $\phi :M\to \mathrm{Gr}$ de $M$ dans la grassmannienne Gr des réseaux de coniques de ${\mathbb{P}}_2$, ce qui nous permet d’identifier $M$ avec l’éclaté d’une surface de Gr. Ceci conduit à une description précise de l’algèbre de cohomologie de $M$, description utilisée pour déterminer quelle pourrait être la classe fondamentale des surfaces complètes de $M$ ne rencontrant pas $\partial M$ et aboutir à une contradiction.

The moduli space of semi-stable sheaves of rank-2 and Chern classes (0,3) on the projective plane ${\mathbb{P}}_2$, denoted by $M=M(0,3)$, is a smooth irreducible projective variety of dimension 9. In $M$, the points which come from sheaves which are not locally free give a hypersurface $\partial M$. In this article we show that all complete surfaces in $M$ must meet the boundary $\partial M$; in other words, there does not exist a family of vector bundles which is parametrized by a complete surface in $M$. The essential point of the proof is the construction of a birational morphism $\Phi :M\to ,\mathrm{Gr}$ from $M$ to the grassmannian Gr of nets of conics in ${\mathbb{P}}_2$; this allows us to identify $M$ with a blow-up of Gr along a surface. This gives us a precise description of cohomology algebra of $M$ and we use this to determine the fundamental class of a complete surface in $M$ which does not meet $\partial M$. We then show that this value of the fundamental class can not arise.

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