Surfaces incompressibles dans les variétés obtenues par chirurgie longitudinale le long d’un noeud de S 3
Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 2, pp. 223-238.

Nous donnons une condition, le type 𝒞, sur un nœud k de S 3 pour qu’une surface de Seifert incompressible de k donne naissance à une surface fermée incompressible dans la variété M obtenue par chirurgie de Dehn longitudinale à partir de k; l’existence d’une telle surface assure l’irréductibilité de M. La variété M, homologiquement équivalente à S 1 ×S 2 , n’est donc pas S 1 ×S 2 .

Nous définissons une condition, le type 𝒯, sur un nœud k de S 3 pour qu’une surface fermée incompressible dans S 3 -k reste incompressible dans les variétés obtenues par chirurgie le long des courbes périphériques enlaçant le nœud k au moins deux fois. (Ces variétés sont homologiquement équivalentes aux espaces lenticulaires distincts de S 3 ou S 1 ×S 2 .) Par définition, nous verrons que tout nœud de S 3 est de type 𝒞 ou de type 𝒯.

A condition, of type 𝒞, is given on a knot k in S 3 , so that an incompressible Seifert surface of k produces a closed incompressible surface in the manifold M, obtained by longitudinal Dehn surgery on k; existence of such surface insures the irreductibility of M. The manifold M, homologically equivalent to S 1 ×S 2 .

A condition, of type 𝒯, is given on a knot k in S 3 , so that a closed incompressible surface in S 3 -k remains incompressible after longitudinal surgeries on peripheral curves, the linking number with k being at least 2. These manifolds are homologically equivalent to lens spaces, which are distinct from S 3 or S 1 ×S 2 .

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[1] W. R. Brakes, Manifolds with multiple knot-surgery descriptions, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 87, n° 3 (1980), 443-448. | MR | Zbl

[2] R. H. Crowell, Genus of alternating link types, Ann. of Math., Vol. 69, n° 2 (1959), 258-275. | MR | Zbl

[3] M. Culler and P. Shalen, Incompressible surfaces and surgery on knots, preprint.

[4] M. Domergue et H. Short, Surfaces incompressibles dans les variétés obtenues par chirurgie longitudinale sur un n° de S3, C.R.A.S., Tome 300. Série I, n° 19 (1985), 669-672. | MR | Zbl

[5] C. Mc Gordon, Dehn surgery and satellite knots, Trans. AMS, 275, n° 2 (1983), 687-708. | MR | Zbl

[6] J. Hempel, 3-manifolds, Annals of Math Studies, n° 86, Princeton Univ. Press, Princeton NJ. | MR | Zbl

[7] W. Jaco, Lectures on Three-Manifold Topology, CBMS Regional Conferences Series, (43) Amer. Math. Soc., (1980). | MR | Zbl

[8] W. Jaco, Adding a 2-handle to a 3-manifold, Proc. A.M.S., 92 (1984), 288-292. | MR | Zbl

[9] K. Johannson, On irreducibility of 3-manifolds, preprint.

[10] R. Kirby, Problems in low dimensional manifold theory, Proc. Symposia in Pure Math., vol. 32 (1978). | MR | Zbl

[11] H. C. Lyon, Simple knots without unique minimal surfaces, Proc. A.M.S., 43 (1974), 449-453. | MR | Zbl

[12] W. Menasco, Closed incompressible surfaces in alternating knot and link complements, Topology, 23 (1984), 37-44. | MR | Zbl

[13] L. Moser, On the impossibility of obtaining S2 × S1 by elementary surgery along a knot, Pacific J. of Math., 53 (1974), 519-523. | MR | Zbl

[14] Neuwirth, Knot groups, Annals of Math. Studies, n° 56 Princeton University Press (1953).

[15] U. Oertel, Closed incompressible surfaces in complements of star links, Pacific Journal of Mathematics. | Zbl

[16] C. D. Papakyriakopoulos, On Dehn's Lemma and the asphericity of knots, Ann. of Math., 66 (1957), 1-26. | MR | Zbl

[17] J. H. Prezynskii, Incompressibility of surfaces after Dehn surgery, Michigan Math. J., 30 (1983), 289-307. | MR | Zbl

[18] D. Rolfsen, Knots and Links, Maths. Lecture Series, Publish or Perish. | Zbl

[19] H. Short, Some closed incompressible surfaces... in " Low dimensional topology ", Lecture Note Séries, n° 95, London Math. Soc., p. 179-194. Edited by Roger Fenn. | Zbl

Références complémentaires :

[20] D. Gabai, Foliations and the topology of 3-manifolds, J. Diff. Geom., 18 (1983), 445-503. | MR | Zbl

[21] D. Gabai, Foliations and the topology of 3-manifolds (II) et (III), MSRI preprint, n° 08912-85. | Zbl

[22] M. Culler, C. Gordon, J. Luecke and P. Shalen, Dehn surgery on knots, preprint.. | Zbl

[23] M. Scharleman, Sutured manifolds and generalized Thurstan norms, preprint, décembre 1985.

Cité par Sources :