Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré n s sur un corps de nombres algébriques
Annales de l'Institut Fourier, Volume 31 (1981) no. 1, p. 39-62

Let N be a cyclic -extension of a number field K. We suppose that N is normal over a subfield H of K, with metabelian Galois group. We study the Galois structure of the -class groups of N and especially the ψ-eigenspaces of these groups, for every -adic character of Gal(K/H). By choosing a convenient generator θ in the augmentation ideal of the group ring Z [ Gal (N/K)], we prove that the difference between the orders of two ψ-components is directly connected with ψ-parts of the genus number and of the ambiguous class number of N/K. So, we compute these quantities and show how the unit indices, which appear in the class number formula, are related with the Galois module structure of the unit group.

Soit N une extension cyclique -primaire d’un corps de nombres K. On suppose que N est métabélienne sur un sous-corps H d’indice n dans K, pour un n étranger à  ; on note G son groupe de Galois de T un relèvement dans G du quotient Gal(K/H). On étudie la structure galoisienne des groupes de -classes de N et on s’intéresse en particulier à leurs ψ-composantes, lorsque ψ parcourt le groupe des caractères -adiques irréductibles de T. Le choix d’un générateur convenable θ dans l’idéal d’augmentation de l’algèbre Z [ Gal (N/K)] permet de mettre en évidence que les écarts entre les ordres respectifs de ces composantes s’expriment très simplement à l’aide des nombres de ψ-classes invariantes et des ψ-parties du nombre de genres de l’extension N/K. On détermine donc ces quantités et on montre enfin comment les indices d’unités qui interviennent dans la formule obtenue gouvernent directement la -structure galoisienne du groupe des unités de N.

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Jaulent, Jean-François. Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré $n\ell ^s$ sur un corps de nombres algébriques. Annales de l'Institut Fourier, Volume 31 (1981) no. 1, pp. 39-62. doi : 10.5802/aif.816. http://www.numdam.org/item/AIF_1981__31_1_39_0/

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