Une propriété de la compactification de Martin d'un domaine euclidien
Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 4, p. 71-90

If Ω is an euclidean domain containing an open ball B, and a filter on B converging non-tangentially to a point of ΩB, then converges to a minimal point in the Martin boundary of Ω. After an application of this result, a counter example is given, solving a problem of R.S. Martin. In both problems, extensions of Harnach inequalities are used to obtain a precise description of the Martin boundary.

Si B est une boule ouverte contenue dans le domaine euclidien Ω, tout filtre sur B, tendant non tangentiellement vers un point de ΩB, converge vers un point minimal dans le compactifié de Martin de Ω. On donne une application, et une variante dans le cas plan, et on termine par un contre-exemple apportant une solution négative à un problème de R.S. Martin. L’idée générale de l’article est d’établir des variantes des inégalités de Harnack pour déterminer la frontière de Martin du domaine.

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Ancona, Alano. Une propriété de la compactification de Martin d'un domaine euclidien. Annales de l'Institut Fourier, Volume 29 (1979) no. 4, pp. 71-90. doi : 10.5802/aif.767. http://www.numdam.org/item/AIF_1979__29_4_71_0/

[1] A. Ancona, Principe de Harnack à la frontière et théorème de Fatou pour un opérateur elliptique dans un domaine lipschitzien, Annales de l'Institut Fourier, 28, 4 (1978), 169-213. | Numdam | MR 80d:31006 | Zbl 0377.31001

[2] M. Brelot, Remarques sur la variation des fonctions harmoniques et les masses associées. Application, Annales de l'Institut Fourier, II (1950), 101-111. | Numdam | MR 13,458i | Zbl 0042.33604

[3] M. Brelot, Sur le principe des singularités positives et la topologie de R. S. Martin, Annales de l'Université de Grenoble, 23 (1950). | Numdam | Zbl 0030.25601

[4] L. Carleson, On the existence of boundary values for harmonic functions of several variables, Ark. Math., 4 (1962). | MR 28 #2232 | Zbl 0107.08402

[5] R. A. Hunt and R. L. Wheeden, On the boundary values of harmonic functions, Trans. Amer, Math. Soc., 132, n° 2 (1968), 307-322. | MR 37 #1634 | Zbl 0159.40501

[6] R. A. Hunt and R. L. Wheeden, Positive harmonic functions on Lipschitz domains, Trans. Amer. Math. Soc., 147 (1970), 507-527. | MR 43 #547 | Zbl 0193.39601

[7] H. Kesten, Positive harmonic functions with zero boundary values, à paraître. | Zbl 0429.31002

[8] R. S. Martin, Minimal positive harmonic functions, Trans. Amer. Math. Soc., 49 (1941), 137-172. | JFM 67.0343.03 | MR 2,292h | Zbl 0025.33302

[9] C. De La Vallée Poussin, Propriétés des fonctions harmoniques dans un domaine limité par des surfaces à courbure bornée, Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa, 2, vol. 2 (1933), 167-192. | JFM 59.1136.02 | Numdam

[10] H. Kesten, Positive harmonic functions with zero boundary values, Proc. Symp. Pure maths, vol XXXV, 1 (1979), 349-352. | MR 80m:31006 | Zbl 0429.31002

[11] M. Benedicks, Positive harmonic functions vanishing on the boundary of certain domains of Rn, Report n° 5, Inst. Mittag-Leffler, 1978. | Zbl 0443.31003

[12] A. Ancona, Principe de Harnack à la frontière et problèmes de frontière de Martin, Colloque Franco-Danois de Théorie du Potentiel 1979, Springer, à paraître.