Approximation polynomiale pondérée dans un domaine d’holomorphie de 𝐂 n
Annales de l'Institut Fourier, Volume 26 (1976) no. 2, p. 71-99

Let Ω be a domain of holomorphy in C n and let ψ be a positive function in Ω such that

supzΩ{ψ(z),[ min dist (z,CnΩ),(1+|z|2)-1/2]k}<

for all k>0. Let H p (Ω,ψ), be the space of holomorphic function f on Ω such that f p = Ω | f | p ψ 1/p <. We study necessary and sufficient conditions for the density in H p (Ω,ψ) of functions holomorphic in larger open sets, or of polynomials. As application of more general results we have:

a) polynomials are dense in H p (Ω, exp (-Φ)) if Ω is convex and Φ is a convex function on Ω,

b) polynomials are dense in H p (C n , exp (-Φ)), if Φ is plurisubharmonic and homogeneous of order ρ>0.

Soit Ω un domaine d’holomorphie de C n et soit ψ une fonction positive telle que pour tout k>0 on ait

supzΩ{ψ(z),[ min dist (z,CnΩ),(1+|z|2)-1/2]k}<.

On note H p (Ω,ψ), 1p, l’espace des fonctions f holomorphes dans Ω telles que f p = Ω | f | p ψ 1/p <. On donne des conditions nécessaires et des conditions suffisantes pour l’approximation des fonctions de H p (Ω,ψ) par des fonctions holomorphes dans un ouvert contenant Ω, ou par des polynômes. On obtient comme cas particulier les résultats suivants :

a) les polynômes sont denses dans H p (Ω, exp (-Φ)) lorsque Ω est ouvert convexe (non borné) et Φ une fonction convexe dans Ω,

b) les polynômes sont denses dans H p (C n , exp (-Φ)), 1p, si Φ est plurisousharmonique homogène d’ordre ρ>0.

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     author = {Sibony, Nessim},
     title = {Approximation polynomiale pond\'er\'ee dans un domaine d'holomorphie de ${\bf C}^n$},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Durand},
     address = {28 - Luisant},
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     year = {1976},
     pages = {71-99},
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     zbl = {0324.32014},
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Sibony, Nessim. Approximation polynomiale pondérée dans un domaine d’holomorphie de ${\bf C}^n$. Annales de l'Institut Fourier, Volume 26 (1976) no. 2, pp. 71-99. doi : 10.5802/aif.615. http://www.numdam.org/item/AIF_1976__26_2_71_0/

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