Courbes analytiques sur un germe d'espace analytique et applications

Soit $f:X\to Y$ un germe d’applications algébriques entre deux germes de variétés algébriques complexes. Soient $O_{X^{\prime }}{O}_Y$ les anneaux de germe de fonctions holomorphes sur $X$ et $Y$ respectivement : ${\overline{f}}^{*}:O_Y\to O_X$ l’homomorphisme déduit de $f$. Nous démontrons, en utilisant quelques propriétés élémentaires des courbes analytiques sur un germe d’espace analytique et sous certaines hypothèses sur $X$ et $Y$, que ${\overline{f}}^{*}$ induit une application ouverte de $O_Y$ sur ${\overline{f}}^{*}(O_Y)$ et que ${\overline{f}}^{*}(O_Y)$ est fermé dans $O_X$ (pour les topologies de Krull).

Let $f:X\to Y$ be a germ of algrebraic mapping between two germs of complex algebraic varieties. Let $O_X$ and $O_Y$ be the rings of germs of holomorphic functions on $X$ and $Y$ respectively, and ${\overline{f}}^{*}:O_Y\to O_X$ be the form $f$ deduced homomorphism. Using some elementary properties of analytic curves on a germ of analytic space, and under some hypothesis on $X$ and $Y$, we prove that ${\overline{f}}^{*}$ induces an open mapping form $O_Y$ onto ${\overline{f}}^{*}(O_Y)$ and that ${\overline{f}}^{*}(O_Y)$ is closed in $O_X$ (for the Krull topologies).

[1] M. Artin, On the solutions of analytic equations, Invent. Math., 5 (1968), 277-291. | MR 38 #344 | Zbl 0172.05301

[2] H. Cartan, Sur les classes de fonctions définies par des inégalités portant sur leurs dérivées successives, Actualités Scientifiques et Industrielles, 867, Hermann (1940). | JFM 66.1231.01 | MR 3,292b | Zbl 0061.11701

[3] A. M. Gabrielov, The formal relations between analytic functions, Functional Anal. Appl., 5 (1971), 318-319. | MR 46 #2073 | Zbl 0254.32009

[4] J. Cl. Tougeron, Idéaux de fonctions différentiables, Ergebnisse Der Mathematik, Band 71, Springer Verlag (1972). | MR 55 #13472 | Zbl 0251.58001