Puissances fractionnaires d'un opérateur générateur d'un semi-groupe distribution régulier

Balabane, Mikhael

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 1, pp. 157-203

On établit un calcul opérationnel, pour les fonctions $f\left(z\right)=(-z{)}^{\alpha }$, sur la classe des opérateurs générateurs de semi-groupe distribution régulier : ainsi, pour un opérateur $A$ de cette classe, sont construits des opérateurs $(-A{)}^{\alpha }$ vérifiant $(-A{)}^{\alpha }(-A{)}^{\beta }=(-A{)}^{\alpha +\beta }$. Ces opérateurs engendrent un semi-groupe distribution holomorphe $U_{\alpha }$ généralement non régulier. La majeure partie de l’article porte sur l’étude de la régularité de $U_{\alpha }$, et des propriétés spectrales de $(-A{)}^{\alpha }$. On caractérise, par leur propriétés spectrales, les opérateurs $A$ pour lesquels $U_{\alpha }$ est régulier.

A calculus over the set of operators generating regular distribution semi-groups is given, concerning the functions $f\left(z\right)=(-z{)}^{\alpha }$. For an operator $A$ belonging to this class, one constructs operators $(-A{)}^{\alpha }$ such that $(-A{)}^{\alpha }(-A{)}^{\beta }=(-A{)}^{\alpha +\beta }$. In the case $0<\alpha <1$, $-(-A{)}^{\alpha }$ generates a holomorphic semi group $U_{\alpha }$, generally not regular. The major part of this paper deals with the regularity of $U_{\alpha }$ and spectral properties of $(-A{)}^{\alpha }$. By mean of spectral properties, is given a characterisation of operators $A$ such that $U_{\alpha }$ is a regular distribution semi group.

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