Familles d'opérateurs potentiels
Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 3-4, p. 263-288
Ce travail se compose de trois parties. Dans la première partie nous donnons quelques résultats sur les noyaux-mesure de Hunt sur R + . Nous caractérisons à ce propos les transformées de Laplace des fonctions logarithmiquement convexes et dé-crois-san-tes sur R + . Dans la deuxième partie, nous démontrons que, si μ est un noyau-mesure de Hunt sur R + et si (P t ) t0 est un semi-groupe à contraction dans un espace de Banach X tel que son générateur infinitésimal soit d’image dense, alors l’opérateur P t dμ(t) défini au sens d’Abel (c’est-à-dire de domaine x ; lim λ0 e -λt P t x d μ (t) existe, et défini par cette limite sur son domaine) est un potentiel abstrait sur X. Les résultats des parties 2 et 3 sont en relation avec des considérations de calcul symbolique que nous explicitons.
This paper has three parts. In the first we give some results concerning the Hunt measure-kernels on R + . For that purpose, we characterize the Laplace transforms of the monotone decreasing logarithmically convex functions on R + . In the second part, we prove that if μ is a Hunt measure-kernel on R + , and if (P t ) t0 is an integrable Feller semi-group on a locally compact space Ω, P t dμ(t) defines a Hunt kernel on Ω. Finally, in the last part, we show that if μ is an abstract measure-potential on R + , of the form ν+g(t)dt, where ν is a totally bounded measure on R + and g a function of bounded variation on R + , and if (P t ) t0 is a contraction semi-group on a Banach space X such that its infinitesimal generator has dense range, then the operator P t dμ(t) defined in the sense of Abel (i.e. with domain x ; lim λ0 e -λt P t x d μ (t) exists, and with that limit on preceding domain) is an abstract potential on X. The results of parts 2 and 3 are related with aspects of operational calculus which we discuss in detail.
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     author = {Hirsch, Francis},
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     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
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Hirsch, Francis. Familles d'opérateurs potentiels. Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 3-4, pp. 263-288. doi : 10.5802/aif.583. http://www.numdam.org/item/AIF_1975__25_3-4_263_0/

[1]G. Choquet et J. Deny, Aspects linéaires de la théorie du potentiel. Théorème de dualité et applications, C. R. Acad. Sc. Paris, série A, 243 (1956), 764-767. | MR 19,848f | Zbl 0071.09903

[2]J. Deny, Le balayage. Communications du séminaire mathématique de l'université de Lund. (1952), 47-61. | MR 15,124a | Zbl 0047.34403

[3]J. Faraut, Semi-groupes de mesures complexes et calcul symbolique sur les générateurs infinitésimaux de semi-groupes d'opérateurs, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 20 (1970), fasc. 1, 235-301. | Numdam | MR 54 #8348 | Zbl 0188.19902

[4]F. Hirsch, Familles résolvantes, générateurs, cogénérateurs, potentiels, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 22 (1972), fasc. 1, 89-210. | Numdam | Zbl 0219.31015

[5]F. Hirsch, Intégrales de résolvantes et calcul symbolique, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 22 (1972), fasc. 4, 239-264. | Numdam | MR 51 #3958 | Zbl 0235.47007

[6]F. Hirsch, Transformation de Stieltjes et fonctions opérant sur les potentiels abstraits. Théorie du Potentiel et Analyse harmonique, Lecture Notes No 404, Springer. | MR 51 #3959 | Zbl 0297.31008

[7]F. Hirsch et J.-P. Roth, Opérateurs dissipatifs et codissipatifs invariants sur un espace homogène. Théorie du Potentiel et Analyse harmonique, Lectures Notes No 404, Springer. | MR 51 #3960 | Zbl 0287.43013

[8]H. W. Hövel and U. Westphal, Fractional powers of closed operators, Studia Mathematica, XLII (1972), 177-195. | MR 46 #2481 | Zbl 0207.13303

[9]G. A. Hunt, Markoff processes and potentials, Illinois Journal of Math., 1 (1957), 44-93 et 316-369, 2 (1958), 151-215. | Zbl 0100.13804

[10]M. Itô, Sur une famille sous-ordonnée au noyau de convolution de Hunt donné, Nagoya Math. J., 51 (1973), 45-56. | MR 48 #4336 | Zbl 0268.31008

[11]G. Lion, Familles d'opérateurs et frontière en théorie du potentiel, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 16 (1966), Fasc. 2, 389-453. | Numdam | MR 35 #6207 | Zbl 0143.34502

[12]D. V. Widder, The Laplace Transform, Princeton University Press, Princeton, 1946.

[13]K. Yosida, Functional analysis, third printing, Springer-Verlag, Berlin, 1971. | Zbl 0217.16001