Harmonic synthesis for subgroups
Annales de l'Institut Fourier, Volume 23 (1973) no. 3, p. 91-123

Let G be a locally compact group and H a closed subgroup. Then H is always a set of local spectral synthesis with respect to the algebra A p (G), where A 2 (G) is the Fourier algebra in the sense of Eymard. Global synthesis holds if and only if a certain condition (C) is satisfied; it is whenever the subgroup H is amenable or normal. Global synthesis implies that each convolution operator on L p (G) with support in H which is the ultraweak limit of measures carried by H. The problem of passing from local to global synthesis is examined in an abstract context.

Soient G un groupe localement compact et H un sous-groupe fermé. Alors H est toujours un ensemble de synthèse locale par rapport aux algèbres A p (G), où A 2 (G) est l’algèbre de Fourier au sens de Eymard. La synthèse globale a lieu si et seulement si une certaine condition (C) est vérifiée ; elle l’est toutefois si H est moyennable ou si H est distingué. La synthèse globale entraîne que chaque convoluteur de L p (G) à support dans H qui est limite ultrafaible de mesures portées par G est une telle limite de mesures portées par H. On étudie dans un cadre abstrait le problème de passage de la synthèse locale à la synthèse globale.

@article{AIF_1973__23_3_91_0,
     author = {Herz, Carl S.},
     title = {Harmonic synthesis for subgroups},
     journal = {Annales de l'Institut Fourier},
     publisher = {Imprimerie Louis-Jean},
     address = {Gap},
     volume = {23},
     number = {3},
     year = {1973},
     pages = {91-123},
     doi = {10.5802/aif.473},
     zbl = {0257.43007},
     mrnumber = {50 \#7956},
     language = {en},
     url = {http://www.numdam.org/item/AIF_1973__23_3_91_0}
}
Herz, Carl S. Harmonic synthesis for subgroups. Annales de l'Institut Fourier, Volume 23 (1973) no. 3, pp. 91-123. doi : 10.5802/aif.473. http://www.numdam.org/item/AIF_1973__23_3_91_0/

[1] P.J. Cohen, Factorization in group algebras, Duke Math. J. 26, (1959), 199-205. | MR 21 #3729 | Zbl 0085.10201

[2] J. Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace Hilbertien, Gauthier-Villars, Paris, 2ème édition 1969. | Zbl 0175.43801

[3] J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, Paris, 2ème édition 1969. | Zbl 0174.18601

[4] C. Dunkl and D. Ramirez, Lp-multipliers supported by subgroups, Proc. Amer. Math. Soc. 34 (1972), 475-478. | Zbl 0253.43010

[5] P. Eymard, L'algèbre de Fourier d'un groupe localement compact, Bull. Soc. Math. France 92 (1964), 181-236. | Numdam | MR 37 #4208 | Zbl 0169.46403

[6] P. Eymard, Algèbres Ap et convoluteurs de Lp, Séminaire Bourbaki 367 (1969/1970). | Numdam | Zbl 0264.43006

[7] A. Figa-Talamanca, Translation invariant operators in Lp, Duke Math. J. 32 (1965), 495-502. | MR 31 #6095 | Zbl 0142.10403

[8] C. Herz, Remarques sur la Note précédente de M. Varopoulos, C.R. Acad. Sci. Paris A260 (1965), 6001-6004. | MR 31 #6096 | Zbl 0135.35404

[9] C. Herz, Le rapport entre les algèbres Ap d'un groupe et d'un sous-groupe, C.R. Acad. Sci. Paris A271 (1970), 244-246. | MR 42 #8307a | Zbl 0195.13803

[10] C. Herz, Synthèse spectrale pour les sous-groupes par rapport aux algèbres Ap, C.R. Acad. Sci. Paris A271 (1970), 316-318. | MR 42 #8307b | Zbl 0195.13802

[11] C. Herz, The theory of p-spaces with an application to convolution operators, Trans. Amer. Math. Soc. 154 (1971), 69-82. | MR 42 #7833 | Zbl 0216.15606

[12] G. Mackey, Induced representations of locally compact groups, Annals of Math. 55 (1952), 101-139. | MR 13,434a | Zbl 0046.11601

[13] H. Mirkil, A counterexample to discrete spectral synthesis, Compositio Math. 14 (1960), 269-273. | Numdam | MR 23 #A4021 | Zbl 0099.10203

[14] H. Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, Oxford 1968. | MR 46 #5933 | Zbl 0165.15601

[15] G.F. Bachelis, W.A. Parker, and K.A. Ross, Local units in L1(G), Proc. Amer. Math. Soc. 31 (1972), 312-313. | MR 44 #5794 | Zbl 0252.43013